计算特定条件下二维向量空间中格的等价类数量

作者: 久别重逢已经那边v发 | 来源:发表于2024-11-10 07:14 被阅读0次

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记 $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})$ 为 $2\times 2$ 整系数矩阵环， $R$ 为子环

$\left\{\begin{pmatrix}a&b\\ c&d\end{pmatrix}\in\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})\mid a\equiv d,c\equiv0\mod2024\right\}.$

我们通过 $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})$ 在 $V:=\mathbb{Q}^2$ 上自然的左作用将 $V$ 看成一个左 $R$ -模。 $V$ 中的一个 $R$ -格是指一个左 $R$ -子模 $L\subset V$ 使得 $L$ 作为 $\mathbb{Z}-$ 模是有限生成的，并且满足 $L\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=V$ 。两个 $R$ -格是等价的，如果它们作为左 $R$ -模是同构的。找出 $V$ 中 $R$ -格等价类的个数（有限或无限），并证明你的答案。

解：

一、关键概念回顾

1.矩阵环 $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})$ : 所有 $2 \times 2$ 整系数矩阵的集合。

2.子环 $R$ : $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})$ 的子集，其中矩阵满足 $a \equiv d \mod 2024$ 且 $c =0$ 。

3.左 $R$ -模 $V$ :

$V=\mathbb{Q}^2$ ，通过 $\operatorname{Mat}_2(\mathbb{Z})$ 在 $V$ 上的自然左作用， $V$ 被看作一个左 $R$ -模。

4. $R$ -格的定义:

$V$ 中的一个 $R$ -格是一个左 $R$ -子模 $L\subset V$ ，它作为 $\mathbb{Z}$ -模是有限生成的，并且满足 $L \otimes_{\mathbb{Z}} \mathbb{Q}=V$ 。

5. $R$ -格的等价类:

如果它们作为左 $R$ -模是同构的，那么两个 $R$ -格是等价的。

二、分析 $R$ -格等价类的个数

1.选择基向量:

选择基向量 $\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ 。

2.证明线性无关性:

设 $m\begin{pmatrix}1 \\0\end{pmatrix} + n \begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}$ ，其中 $m,n\in \mathbb{Z}$ 。
这意味着 $m=0$ 且 $n=0$ ，所以这两个向量是 $\mathbb{Z}$ 线性无关的。

3.生成任意 $R$ -格:

设 $v\in L$ ，由于 $L\otimes_{\mathbb{Z}}\mathbb{Q}=V$ ,所以存在 $q_1,q_2\in \mathbb{Q}$ 使得 $v=q_1\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}+ q_2\begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ 。
设 $q_1=\frac{m_1}{n_1}$ 和 $q_2 =\frac{m_2}{n_2}$ ，其中 $m_1, m_2, n_1, n_2 \in \mathbb{Z}$ ，且 $n_1,n_2 \neq 0$ 。
那么 $n_1n_2v= m_1n_2\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix} + m_2 n_1 \begin{pmatrix}0 \\ 1\end{pmatrix}$ ，说明 $n_1n_2v$ 可以由这两个向量的 $\mathbb{Z}$ 线性组合表示。
又因为 $L$ 是 $R$ -格，所以 $n_1n_2 v\in L$ ，这表明 $L$ 中的任意元素都可以由 $\begin{pmatrix}1 \\ 0\end{pmatrix}$ 和 $\begin{pmatrix}0 \\1\end{pmatrix}$ 的 $\mathbb{Z}$ 线性组合生成。

4.等价类的个数:

由于 $\mathbb{Z}$ 线性组合的数量是有限的，所以 $R$ -格的等价类个数也是有限的。

综上， $V$ 中 $R$ -格等价类的个数是有限的。

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