1. 然并卵
关于素数，费马和欧拉他们当初是怎么想的？相关的定理是怎么一步步构造出来的？
如果想不通，没关系。这两位都是历史长河中的巨人，思维（我键入sw第一个弹出来的是丝袜，看来我某方面还是挺有思维的）跟不上他们没啥丢人的。
如果想通了，然并卵，至多像我一样发发没人看的文章。
2. 空想不如烂七八糟写(1)
对着一串素数傻了吧唧的发呆，不如写点东西来玩。
我们知道一个素数只有1和它自己两个因子，因此只可能是有其他数字是它的倍数。倘若是它的倍数，那么我们先创造两个数出来，一个数是a，另一个是素数p，则：
这个式子好像没有什么屁用。那么我们不妨重新构造一下a，让a不为p的倍数，那么肯定会产生一个余数c，则：
这个好像会有点用，我继续试想一下——a的倍数模p会得到什么呢？我们先来构造a的倍数：
构造完了，似乎还是没有什么发现，找不到什么特殊性，没有特殊性就自然提炼不出什么规律。看来我们构造的不够仔细。
我们再来回顾一下我们的构造，似乎真的有问题，因为如果n大于p的话，其中必然出现sn中的某个数值可以整除p的情况，也就是余数为0，为0的情况我们之前已经认为是没有太大意义的了。因此我们限定n=p-1
在这个限定下，我们可以发现其中任何两个s都不可能模p同余。这是为什么呢？
我们先找到第r，第t个s。并t大于r，倘若是有同余的情况，我们可以得到：
因为t-r小于p，所以p肯定不是t-r的因子，而我们已经规定p不能整除a。因此这个假设不成立。
同时，我们可以知道sn各项模p的余数分别应该是1,2,3...p-1,因此我们有：
我们令s1s2s3..sp-1=Q,则：
又因为Q中的因子没有能被p整除，因此，我们得到：
你要是1636年之前写出这个，费马小定理就改跟你姓了。比如西门小定理什么的。
这个时候你可能又要好奇了，为什么要叫小定理，莫非他还整了个大的？
是的，在另一篇文章中，我们将会一起找到这个大定理。
3.空想不如烂七八糟写（2）
我们一直在考察一个数的素性，那么两个数之间如果有类似性质会发生什么呢？
素数的只有1和它自己两个因子。那么两个数之间互素说的就是共同因子只有1喽？
让我们来找找看，在<=n的范围内与n互素的整数个数是多少，即这个数字为M(n):
M(1)=1
M(2)=1
M(3)=2
M(4)=2
M(5)=4
M(6)=2
M(7)=6
M(8)=4
M(9)=6
M(10)=4
猛看一眼，M的值比素数密度还没有规律。忽高忽低。但细细品味，计算起来似乎比素数密度要简单。比如当n为素数时，n-1便是M(n)的值。
等等，这个n-1我们刚刚还用到它了。它是费马小定理中的指数，也就是说费马小定理还可以这样写：
但是得到这个式子似乎也是没个卵用的。因为得到了费马小定理之后，这个式子就是明摆着的。
那么我们不妨大胆迈出下一步，探索一下这个在独特范围内生效的规律能否实现推广？
我们回到对a的倍数乘积的构造，在这里总共有M(n)个a相乘，于是：
然而我们能确定的只有M(n)是小于n的，但其中随着n的变化，M的值可能是一样的。比如M(10)=M(5)
到这里，我们唯一能确定的范围就是a不能为p的倍数，因为如果有倍数关系，则a模p余0，没有任何值得挖掘意义，跟我们想要推广的式子也扯不上关系。
既然回到了a和p的相互关系，我们继续看看之前是如何构造a与p的。
我们之前假定了p是一个素数，从而导致了接下来一系列的推理。看来，我们要改造的关键是p的性质。
我们这次假定p可以是素数或者合数。那么a怎么假设它呢？
其实a的假设很好得到，因为如果a和p有共同因子，那么求余的过程中共同因子都会被约掉，直到得到互质的两个数，既然最终是要互质的，那么我们就可以得到a和p的关系了——a与p互质。
同时，我们创造一个集合，里面是所有与p互质的数模p的余数。集合可以这样表示（集合总共会有M(n)项）
这是每一项M乘以a求余的集合：
因为a与p是互质的，因此以上两个集合是相同的，都是所有与p互质的数模p的余数的集合。
这样我们就有了：
去掉相同的因子，则：
我们把M换成专业符号，就得到了：
这便是欧拉定理
4. 关于构造
有群众会质疑了，这找到费马小定理和欧拉定理看上去差不多的样子，为什么关于余数集合的构造，一个是1~（p-1) 另一个就是参数构成的集合？
首先，恭喜大家已经学会用联系的眼光看待问题了。另外，我要告诉大家这两种构成实际是一样的。只是为了不同的计算比对的方便罢了，关于这一点适合自己慢慢品味。
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