勾股定理联想

      勾股定理（西方谓毕达哥拉斯定理），是历史上第一个把数字、代数与平面几何图形连结起来的桥梁，当然它也是其中最经典代表之一（其他还有圆周率π、蝴蝶定理、球体积公式等），这是大自然的奥秘之一，甚至可以说是打开人类大脑智慧之门的重要节点。

      关于勾股定理的证明方法，不胜枚举，个人认为其中最为简洁的证明方法是面积法，而关于它在立体图形里的延伸，却认识的不多。

      虽然现在看起来，这个定理并没有什么特殊之处，然而它却是把一维零散的线段长度关系放到二维平面之中，发现竟然存在如此简洁美妙的平方和关系。

      这才真正是大自然的鬼斧神工之处。

      更为奇妙的是，如果我们把这个长度关系延伸到立体几何图形之中，也同样适用。

      即C²=A²+B²+C²

      或者说，长方体对角线长度的平方对于长宽高的平方和，其证明也很简单，只不过用了两次平面图形的勾股定理。

      由一维表达线段长度a，b，c，到二维表达乘积与平方，ab，bc，ca，a²，b²，c²，表达面积、相似、比例，最后到三次项a³，b³，c³，abc，ab²……表达体积，终于把代数与几何真正联系了起来。

      故而，和平方、差平方公式，和立方与差立方公式等等，均可以从几何直观里得到最简洁直接的证明，有兴趣的读者可以自己做模型证明，很容易。

      由零维、一维、二维，再到三维，由抽象的代数化身为华丽形象的几何图形，举一反三，这才是数学科学或者自然科学的正确打开方式。