Kitaev chain

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本次汇报主要介绍一个一维模型，kitaev chain及其扩展版本。通过对它们体态和边缘态的求解，来了解不同拓扑分类的模型。
一维kitaev模型是kitaev 在2000提出的玩具模型，用来“制造”马约拉纳费米子。
该模型的哈密顿量，用二次量子化的形式表示成如下的形式，比之前一些模型，除了跳跃项，多出了一项超导配对项，u是化学势，j是跃迁强度，delta中包含了超导配对振幅和相位。
1、对于体态，我们还是取周期性边界条件，然后变换到动量空间进行求解。将产生湮灭算符的傅里叶变换式，带入实空间中哈密顿量表达式，化简可得动量空间的体哈密顿量表达式。
由于多了超导配对项，不能用单个电子的产生湮灭算符来将哈密顿量写成行矩阵列的形式，而需要将分量加倍。我们先采用BDG表示来求解，后面也会用majorana表示来进行二次验证，phi为南部旋子。将原式系数与展开式进行对比，可得BDG哈密顿量的矩阵表达式，其中利用了费米子产生湮灭算符的反对易关系式。
求解久期方程，可得准粒子的E-K关系。这里，我们先分析对称性，判断该模型的拓扑分类，从而用相应的拓扑不变量来区分不同的拓扑态。当存在反幺正算符C使得哈密顿量满足如下关系式，我们称该系统具有粒子空穴对称性，对于该模型，C = sigma x k，属于D类。可以用Z2拓扑不变量来描述。
特别地，当phi = 0时，dx分量等于0，系统获得手性对称性，d曲线被限制在yoz平面，或者说bloch球上的一个大圆，模型由D类变为BDI类，可以用圈绕数进行描述。在这里我们绘制了色散关系曲线和相应的d曲线，3和5具有不同的圈绕数，曲线穿过原点的时候，能带闭合。
2、对于边缘态，我们在取开放边界条件的实空间进行求解，相应的南部旋子也变换到实空间的形式。对比参数我们可以得到实空间下的BDG 哈密顿量的矩阵。可绘制相应的能谱和u=1时的边缘态。
3、然后，我们用majorana表示求解，进行验证。马约拉纳费米子是马约拉纳提出的一种反粒子是其自身的费米子。复费米子的产生湮灭算符可以用两个马约拉纳算符进行表示，带入式中即得马约拉纳算符表示的哈密顿量，为了方便我们还是取phi=0，j=delta。化简得到最终的哈密顿量，求解后的结果与先前的方法一致。
4、最后是kitaev chain的一个扩展版本，增加一个跳跃项和配对项，由此可以得到更多的拓扑相。
先在周期边界条件下求体态，依然采用BDG表示，为了方便，phi 1取0，phi 2 取phi。利用泡利算符展开，系统仍然具有粒子空穴对称性，可以用Z2拓扑不变量来描述，并且可以用布洛赫球面上的哈密顿量的缠绕曲线来形象地表示。当k从-pi到pi改变一个周期时，哈密顿量在布洛赫球面上的曲线是一条闭合曲线，其包围的曲面所对应的立体角与贝利相位有如下的关系。当k取0 or pi or -pi的时候，dx = dy =0，曲线穿过球的极点。我们把曲线分为-pi到0和0到pi两部分，当穿过同一个极点时，曲线缠绕方向相反，立体角为0，贝利相位等于0；当穿过不同的极点时，立体角为2pi，贝利相位等于pi。 由此拓扑数只能是0或者1.
特别地，当phi = 0时，dx分量等于0，系统获得手性对称性，可以用圈绕数进行描述。