maxmin 的代码实现

在解决石头剪子布这个问题的过程中，我们会用到一个 maxmin 函数，先来看看这个函数的理论基础。

首先，Minimax 也叫做鞍点，是人工智能，决策理论，博弈论，统计和哲学等领域中基础的决策规则，用于将最坏情况（最大损失）的损失降到最低。

而 maximmin与 minimax 有所不同：

Minimax 用于 zero-sum 的游戏，表示让对手的最大收益最小化，就相当于使自己的最大损失最小化，并使自己的最小收益最大化。

而 Maximin 是 non-zero-sum 游戏的常用术语，用来描述使自己的最小收益最大化的策略，这与让对手的最大收益最小化不同，与纳什均衡策略也不相同。

下面是代码实现：

def maxmin(A):
    num_vars = len(A)
    
    # minimize matrix c
    c = [-1] + [0 for i in range(num_vars)]
    c = np.array(c, dtype="float")
    c = matrix(c)
    
    # constraints G*x <= h
    G = np.matrix(A, dtype="float").T # reformat each variable is in a row
    # G before inverse sign to get the standard form
    print("G matrix:", G)
    G *= -1 # minimization constraint
    G = np.vstack([G, np.eye(num_vars) * -1]) # > 0 constraint for all vars
    new_col = [1 for i in range(num_vars)] + [0 for i in range(num_vars)]
    G = np.insert(G, 0, new_col, axis=1) # insert utility column for simplex tableau
    G = matrix(G)

    h = ([0 for i in range(num_vars)] + 
         [0 for i in range(num_vars)])
    h = np.array(h, dtype="float")
    h = matrix(h)
    
    # contraints Ax = b, sum of pi_rock, pi_paper, pi_scissors equal 1
    A = [0] + [1 for i in range(num_vars)]
    A = np.matrix(A, dtype="float")
    A = matrix(A)

    b = np.matrix(1, dtype="float")
    b = matrix(b)
    print("c matrix:", c)
    print("G matrix:", G)
    print("h matrix:", h)
    print("A matrix:", A)
    print("b matrix:", b)
    
    sol = solvers.lp(c=c, G=G, h=h, A=A, b=b)
    return sol

学习资料：
https://en.wikipedia.org/wiki/Minimax#Maximin
https://medium.com/@excitedAtom/linear-programming-in-python-cvxopt-and-game-theory-8626a143d428