向量
在 3D 笛卡尔坐标系, 基本上. 一个顶点就是XYZ 坐标空间上的一个位置. 而在空间中给定的一个位置 恰恰是由一个单独的 XYZ 定义的. 而这样的 XYZ 就是向量量。
向量
在 X轴上的向量 (1,0,0). 向量⻓度为1. 我们称为长度为1的向量为单位向量。
向量的模的计算
如果一个向量不是单位向量, ⽽我们把它缩放到 1. 这个过程叫做标准化. 将一个向量进行标准化就是将它的缩为1; 也叫做单位化向量。
向量单位化
向量定义
math3d库，有2个数据类型，能够表示一个三维或者四维向量。
M3DVector3f可以表示一个三维向量(x,y,z)，
M3DVector4f则可以表示一个四维向量(x,y,z,w).
在典型情况下，w坐标设为1.0。x,y,z值通过除以w，来进行缩放。而除以1.0则本质上不改变x,y,z值。
参考代码：
//三维向量量/四维向量量的声明
typedef float M3DVector3f[3];
typedef float M3DVector4f[4];
//声明一个三维向量 M3DVector3f:类型 vVector:变量名
M3DVector3f vVector;
//声明一个四维向量并初始化⼀一个四维向量
M3DVector4f vVertex = {0,0,1,1};
//声明一个三分量顶点数组，例如生成一个三角形
M3DVector3f vVerts[] = {
-0.5f,0.0f,0.0f,
0.5f,0.0f,0.0f,
0.0f,0.5f,0.0f
}
向量点乘
2个(三维向量)单元向量 之间进行点乘运算将得到一个标量(不是三维向量,是⼀一个标量).它表示两个向量之间的夹⻆。
注意：
点乘只能发生在两个向量之间，且点乘时，两向量必须是单位向量，如果不是，需要将向量进行单位化后，再点乘。
点乘得到的是一个范围在[-1, 1]之间的值，这个值其实就是夹角的cos值(余弦值)
点乘运算返回2个向量的夹角
math3d 库中提供了了关于点乘的API
//1.m3dDotProduct3 函数获得2个向量量之间的点乘结果;
float m3dDotProduct3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
//2.m3dGetAngleBetweenVector3 即可获取2个向量之间夹⻆角的弧度值;
float m3dGetAngleBetweenVector3(const M3DVector3f u,const M3DVector3f v);
向量叉乘
2个向量之间叉乘就可以得到另外一个向量,新的向量会与原来2个向量定义的平面垂直。 同时进行叉乘,不必为单位向量;
叉乘运算结果返回一个新的向量, 这个向量与原来2个向量垂直
OpenGL中针对向量叉乘也提供了对应的API
//m3dCrossProduct3 函数获得2个向量之间的叉乘结果得到一个新的向量
void m3dCrossProduct3(M3DVector3f result,const M3DVector3f u ,const
M3DVector3f v);
矩阵
单元矩阵
单元矩阵
- 主对角线上数据都是1，其余元素都是0，即为单元矩阵
- 向量 X 单元矩阵 = 向量 X 1，不会发生任何变化
- 向量与单元矩阵相乘的前提是：向量的列数 == 单元矩阵的行数
在其他编程标准中, 许多矩阵库定义⼀个矩阵时,使⽤⼆维数组;OpenGL的约定⾥,更多倾向使⽤ ⼀维数组; 这样做的原因是: OpenGL 使⽤的是Column-Major(以列为主)矩阵排序的约定;
行优先矩阵
行优先矩阵
列优先矩阵
列优先矩阵
- 行优先矩阵：一行一行读取
- 列优先矩阵：一列一列读取
- 两者的关系为：行优先矩阵经过转置 即可得到列优先矩阵
矩阵的点乘
矩阵可以进行点乘的前提：两个矩阵的行列数相等
矩阵A · 矩阵B = 矩阵C
规则： 矩阵A的第一个元素与矩阵B的第一个元素的乘积 = 矩阵C的第一个元素
矩阵的叉乘
矩阵可以进行叉乘的前提：第一个矩阵的列数 = 第二个矩阵的行数
矩阵A x 矩阵B = 矩阵C
规则：矩阵A第一行与矩阵B第一列对应元素乘积的综合 = 矩阵C的第一个元素
OpenGL中单元矩阵的初始化方法
1、通过GLFloat定义一个一维数组。
GLFloat m[] = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
2、通过M3DMatrix44f创建一个单元矩阵
M3DMatrix44f m = {
1,0,0,0, //X Column
0,1,0,0, //Y Column
0,0,1,0, //Z Column
0,0,0,1 // Translation
}
3、通过方法m3dLoadIdentity44f创建单元矩阵
void m3dLoadIdentity44f(M3DMatrix44f m);
矩阵相乘
数学角度
-
数学中为了方便计算，都是以行矩阵为标准，从左到右的顺序进行计算，所以在数学中，顶点将以行向量的方式表示。
-
从数学角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是行向量，要满足矩阵相乘的规定条件（即 叉乘的前提），必须将mvp矩阵放在右边，属于右乘。
顶点向量 = V_local * M_model * M_view * M_pro 顶点向量 = 顶点 * 模型矩阵 * 观察矩阵 * 投影矩阵
数学中的矩阵相乘
OpenGL角度
- OpenGL中的矩阵规定是以列为主，所以顶点以列向量的方式表示。
-
从OpenGL角度理解mvp矩阵的计算，由于顶点是列向量，如果项进行矩阵规则，就需要满足矩阵相乘的条件，需要将mvp矩阵的顺序颠倒为pvm，且放在列向量的左边，属于左乘。
OpenGL角度
OpenGL矩阵堆栈中矩阵相乘
矩阵左乘
- 从栈顶获取栈顶矩阵 复制到 mTemp
- 将栈顶矩阵 mTemp 左乘 mMatrix
- 将结果放回栈顶空间⾥里里;
矩阵堆栈代码体现
矩阵堆栈变化
首先 在ChangeSize函数中，得到投影矩阵，将投影矩阵压入投影矩阵堆栈栈顶，并与模型视图矩阵栈顶相乘，将结果覆盖栈顶，即 投影矩阵 * 单元矩阵 = 投影矩阵
RenderScene函数中，将栈顶矩阵copy一份，然后将观察者矩阵与模型视图矩阵堆栈栈顶相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即投影矩阵 * 视图矩阵 = 视图投影矩阵
得到模型矩阵，将模型矩阵与栈顶矩阵相乘，其结果覆盖栈顶矩阵，即 栈顶 = 模型视图投影矩阵。
由此可知，在实际的代码中，mvp矩阵的计算顺序是pvm，最后再将mvp矩阵与顶点矩阵相乘，得到物体变换后的顶点和位置。
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