数学思维之反证法

在数学中，有一个很重要的思维，叫“反证法”。

就是先假定你说的条件都满足，然后再找出矛盾之处，这样就能推翻错误的假设。

先看一个简单的例子：

0为什么不能做除数？

我们假设0可以做分母，比如2/0。

我们设2／0＝a，就有2＝0×a

因为任何数乘以0都得0，不可能是2，所以a不存在。

那你说0／0＝b，就有0＝0×b，这总成立吧。

但在这个式子里，b可以等于任何数。

这样一来，0／0到底是什么数就不能确定，而数学必须有唯一正确的答案。

因此，0不能作除数或分母。

我们再看一个稍微复杂的例子：

√2为什么是无理数？

我们先假定√2是有理数R，有理数可以写成分数的形式，所以R=A/B，其中A、B都是互素的整数。

那么，R²＝（A／B)²＝A²／B²＝2。

A²＝2B²

所以，A²为偶数，则A为偶数。

我们可以把A写成

A=2C，其中C是一个整数。

A²＝4C²

4C²＝2B²

2C²＝B²

B²为偶数，则B为偶数。

那么问题来了，我们知道A、B互素，也就是不能再约分。可现在推导出来A和B都是偶数，这就出现了矛盾。

也就是说，R无法写成有理数的形式，即A/B。在这样的数中有一个自己乘以自己等于2。我们今天把这个数字称为√2。我们把这一类数字统称为无理数。

你看，很多看似复杂的事情，我们只需要在逻辑上推演一遍，就能把问题的真相搞清楚了。