很喜欢John Baez 的栏目“This week‘s finds” ，好处多多，既是一种训练也是一种积累。而且自己的记忆很差，还毫无节制的摄取各种信息不求甚解像做梦一样，所以适当的记录还是很有必要的。
K. Costello, D. Gaiotto and J. Yagi, "Q-operator are 't Hooft lines"
Costello的文章数学浓度还是很高，有点难入口。之前他和Witten还有Yamazaki构造了一个4维CS理论可以用来研究可积系统，有意思的地方是可以用我们熟悉的物理图像来重新理解可积系统里面的一些数学结构。 我喜欢的部分是，在场论图像里，L-operator就是两条相交的Wilson line。Transfer matrix就是N个这样的L-operator排起来。这些图像，在tensor的语言里早已经存在，只不过那里的图是为了理解指标结构，而现在所有的线都是有物理意义的。有了Transfer matrix 之后下一步就是用Bethe ansatz来求解了。
当初看Costello他们的文章时就想，Bethe ansatz是不是也能用Wilson line 来理解。还有一些其他可积性用到的技术，比如SoV，比如算overlap什么的。但当时对Baxter 的Q-operator理解不够，没有意识到它的重要意义；虽然看过Witten effect，但是也是理解不深，所以没有想到Q-operator 与‘t Hooft line的可能联系。有点像看推理小说时，其实线索都已经摆在眼前，但是并没有被我联系起来。
在学Faddeev的讲义的时候，其实是感觉可以从Transfer matrix 推导出Bethe ansatz，可能唯一的假设是要有一个reference state，然后其他state可以用Transfer matrix 的矩阵元作用得到，然后state是eigenstate 的条件及时Bethe equation。Baxter 的Q operator 是一个与Transfer matrix 对易地算符，满足所谓的TQrelation，QQrelation，都是一些代数方程，从这些代数方程出发就可以得到Bethe equation。
Costello，Gaiotto还有Yagi的这篇文章提出Q-operator在4DCS理论对应了‘t Hooft line。‘t Hooft line 可以理解为一种带有磁荷的线算符，gauge field 在 ‘t Hooft line 位置处是发散的。我们可以用一个柱面(拓扑等价于球面)来描述一个‘t Hooft line地构型。柱面地上下两个面，可以认为对应了球面地南，北两级，都有一个well defined 的section，也可以认为是g-bundle的两个trivilization。沿着柱面的侧面，存在一个parallel transportation 将两个trivilization 联系起来。这个parallel transport 是一个S^1到群G的映射，是loop group LG的一个元素。我们还有模掉上下两个的gauge transformation，最后parallel transport的moduli是LG_+\LG/LG_+, LG_+是那些可以延拓到z=0处（上下面的中心）的规范变换。coset LG/LG_+ 称为 affine Grassmannian：G((z))/G[[z]], G((z))是洛朗级数，G[[z]]是多项式，一般好像也可以把这个coset 记为G(z)_-。这个coset是由G的coweight 来描述，这也是‘t Hooft line的半经典描述。
用这个图像+Witten effect可以直接推导出TQ relation：
用4DCS理论的语言就是，一个Wilson line 与一个 ‘t Hooft line collide得到了同时带有电荷和磁荷的算符。这里要用到witten effect，z可以理解为规范场论里面呢的theta angle，所以shift z相当于shift theta angle。Witten effect 是说，shift theta angle 会改变电荷。所以Q(z+h) 之后不但带有里磁荷还有电荷了。这里面的微妙的地方是对于T算符还有Q算符我们要适当选取normalization。其他的内容还包括：
像T算符满足RTT=TTR一样，Q算符也满足类似的RQQ=QQR关系。
RTT=TTR导致了Yangian algbera，RQQ=QQR导致了所谓的shifted Yangian。
通过把 ‘t Hooft line的相空间认同成 3维 N=4 ADE quiver gauge theory 真空的Coulomb branch 来对‘t Hooft line 进行严格的量子化。
利用Gukov-Witten surface operator 来构造 ‘t Hooft line可以推导QQ relation。
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