角平分线长度相等的三角形是等腰三角形吗？

在知乎上看到的问题，一时兴起做了一下。先看题目吧：

题目示意图

如上图，AF,BD与CE均为三角形ABC的角平分线，且BD=CE.请问ABC是等腰三角形吗？

解题思路如下：
1.如果要证明ABC是否等腰三角形，就要证明AB=AC或者找一个不是等腰三角形的特例；
2.如果作平行线中或者翻转的辅助线，我觉得比较麻烦，而且不一定有结果；所以我选择了三角函数；
3.在角平分线中，还有什么比内切圆半径更有力的武器呢？
4.过O，D向BC作垂线交于M，N；则OM=r;
5.如何表示BD长度呢？显然BOM与BDN相似。并且由角平分线定理：

AB/AD=BO/OD.

则得到：

BD=BO+OD
  =BO*(1+OD/BO)
  =BO*(1+AD/AB)
  =r(1+sin(B/2)/sin(B/2+C))/sin(B/2).

同理：

CE=r(1+sin(C/2)/sin(C/2+B))/sin(C/2).

6.交叉相乘之后（分母必不为0），BD=CE可以推导出：

(1+sin(B/2)/sin(B/2+C))*sin(C/2)=(1+sin(C/2)/sin(C/2+B))*sin(B/2)

等价于

sin(B/2)-sin(C/2)
=sin(B/2)sin(C/2)*(csc(B/2+C)-csc(C/2+B))
=sin(B/2)sin(C/2)*(sin(C/2+B)-sin(B/2+C))/(sin(B/2+C)sin(C/2+B))        .......(1)

大概很多人已经打退堂鼓了吧！不要怕，可以简化的哦！
运用三角函数和差化积公式得到：

1左边=2sin((B-C)/2)cos((B+C)/2)
1右边=2sin(B/2)sin(C/2)/(sin(B/2+C)sin(C/2+B))*sin((B-C)/2)cos((B+C)*3/4)

好吧，要是还看不见希望，连我也要怀疑自己了！
注意两项中都有sin((B-C)/2)这一项哦，如果该项为0的话，两边自然相等，但是角B和角C肯定相等了哦。（同一个三角形内角不解释）
7.暂时假设该项不等于0吧，我们从等式两边约去该项，得到

cos((B+C)/2)*sin(B/2+C)sin(C/2+B)=cos((B+C)*3/4）*sin(B/2)sin(C/2)

好恐怖😱.......我们现在的工作是证明这个式子不可能相等。
注意到式子中左侧每一项都大于0，则右侧cos((B+C)*3/4必然大于0.
所以：

0<cos((B+C)*3/4)<cos((B+C)/2)<1.

接下来只要

sin(B/2+C)sin(C/2+B)>sin(B/2)sin(C/2)                 （2）

那么两边不可能相等，从而得出矛盾了。
8.考虑到B，C都是内角，且测试了角B和角C相等及其他情况后，我认为式子（7）成立，开始着手证明。

S=sin(B/2+C)sin(C/2+B)-sin(B/2)sin(C/2)  
=sin(B/2+C)sin(C/2+B)-sin(B/2+C)sin(C/2)-(sin(B/2)sin(C/2)  -sin(B/2+C)sin(C/2))=sin(B/2+C)(sin(C/2+B)-sin(C/2))+sin(C/2)*(sin(B/2+C)-sin(B/2))=2sin(B/2+C)sin(B/2)cos(B/2+C/2)+2sin(C/2)sin(C/2)cos(B/2+C/2)>0

结果成立了哈哈。
反推回来，ABC必然是等腰三角形了。

学了很多年的数学，也拿了不少奖，最遗憾的是总是拿不到一等奖。现在也只能把它作为消遣的工具了。
我用了一个多小时解出最终结果，证明这么多年的书还是有点用；不过现在英语和计算机才是我的主道，写完文章还是老老实实去听英语吧！