小波分解和小波包分解2020-05-12

小波分解（wavelet transform）

小波

傅里叶变换的基本方程是sin和cos，小波变换的基本方程是小波函数(basic wavelet)，不同的小波在波形上有较大的差异，相似的小波构成一个小波族(family)。小波具有这样的局部特性:只有在有限的区间内取值不为0。这个特性可以很好地用于表示带有尖锐， 不连续的信号。

小波变换

正交矩阵构造

特定的小波函数（basic wavelet）由一组特定的小波滤波系数(wavelet filter coefficients)构成。当选定了小波函数，其对应的那组小波滤波器系数就知道。用小波滤波器系数构造不同维度的低通滤波器和高通滤波器（下面的例子中W就是由这些系数构造出来的）。低通滤波器可以看作为一个平滑滤波器(smoothing filter)。这两个滤波器，低通和高通滤波器，又分别被称为尺度(scaling)和小波滤波器(wavelet filter)。一旦定义好了这两个滤波器，通过递归分解算法(也称为金字塔算法(pyramid algorithm),树算法(tree algorithm)将得到水平多分辨率表示的信号。

树算法

信号的重构

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例子：使用Haar小波做离散小波变换

分解的结果

小波包分解（wavelet packet transform）

简单理解就是每一层分解得到的系数都要再分解，不像小波分解那样只有低频系数会再分解。同样以Haar小波为例子。

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分解结果

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