这篇关于归一化的文章是最近学习的一个总结，放在简书上，方便日后查阅。
一、前言
此篇博文首先说明了什么是归一化，接着介绍了两种常用的归一化方法，然后说明了为什么需要归一化，这样做有什么好处，最后给出一个例子。
二、归一化是什么
数据归一化（标准化）是机器学习/数据挖掘的一项基础工作，是数据预处理的重要一步。样本各个特征往往具有不同的分布范围，通过归一化将各个维度的特征值映射到相同区间，使得各特征值具有相同量纲，处于同一数量级。
三、有哪些归一化的方法[1]
1、min-max归一化（Min-Max Normalization）
对各维特征值分别进行线性变换，使得各维特征值被映射到[0, 1]之间，转换函数如下：
min-max归一化转换函数[1]
其中max为某一维特征值的最大值，min为某一列特征值的最小值。这种方法有个缺陷，就是当有新样本加入时，max和min可能会变化，需要重新定义（当然，问题不大）。
2、z-score归一化
这种方法用各维的均值和标准差来归一化各维特征值，它的转换函数为：
z-score归一化转换函数[1]
经过处理后，各维特征值符合标准正态分布，即各维特征服从标准正态分布。
四、为什么需要归一化，什么时候需要归一化，有什么好处
这主要看机器学习算法是否具有伸缩不变性[2]。
有些机器学习算法在将样本各个维度特征值进行不均匀伸缩后（例如各维特征值乘以不同系数），训练得到的模型与原来不等价，例如SVM，这样的算法我们说它不具有伸缩不变性。对于这一类算法，除非本来各维特征的分布范围就比较接近，否则必须进行归一化。
现在通过画图的方式直观地说明一下未归一化可能导致的后果[3]。以分类为例，假设有一些样本，样本只有两个特征，X1范围是100000到200000，X2范围是1到2，然后每一个样本都有一个标签，对应着样本所属类别。
现在在样本空间（其实就是平面坐标轴）上画出这些点，显然会发现，这些点几乎处于同一直线上。这个时候很难找到一条划分线将不同类别样本分开，这会导致模型正确率降低，并且X2几乎可以被忽略掉（X2相对于X1而言几乎没有变化，分类结果几乎只由X1决定，而只靠X1是不能将所有样本都分类正确的），仅仅因为所谓量纲的问题。
以下图为例，设纵坐标为X2，将X2压缩，使得样本点几乎处于同一直线上，再来思考X2为什么会被忽略掉。
分类示意图
这里以预测房价的例子来说明为什么归一化可以加快模型训练速度[3]。假设有一些样本，样本只有两个特征，分别是面积（设为x1，x1的范围为0~1000）和房间数（设为x2，x2的范围为0~10），然后每一个样本都有一个标签，对应着房价。
显然这是一个线性回归问题，可以得到线性模型：
线性模型
其中y是房价，theta1表示面积变量前的系数，theta2表示房间数变量前的系数。
大部分机器学习都是一个最优化问题，所谓寻找模型最优解就是，调整模型参数使得损失函数最小，此时的模型参数即为最优解。最优化一般采用梯度下降，首先画出损失函数的等高线，横纵坐标轴分别为theta1和theta2。
1、未归一化时
此时样本可能为((面积: 600,房间数: 3), ycorrect)，则损失函数为：
未归一化的损失函数[3]
于是损失函数的等高线类似椭圆形状，最优解的寻优过程如下图所示，可以发现梯度下降方向只要不在椭圆对称轴上，这一步损失函数几乎就不会减小，这会导致震荡，使得收敛很慢，甚至不收敛。
未归一化的梯度下降[3]
2、归一化后
此时样本可能为((面积: 0.5,房间数: 0.55), XXXX)，则损失函数为：
归一化的损失函数[3]
此时损失函数等高线类似圆形形状，最优解的寻优过程如下图所示，可以发现归一化后，寻优过程变得平滑，收敛速度得到提高，加快模型训练速度。
归一化的梯度下降[3]
另外，各维分别做归一化会丢失各维方差这一信息，但各维之间的相关系数可以保留[4]。
如果本来各维的量纲是相同的，最好不要做归一化，以尽可能多地保留信息。
如果本来各维的量纲是不同的，就需要先对各维分别归一化。
五、小结
归一化是机器学习中必不可少的一步，只要样本各维量纲不一致，我们就需要对数据集进行归一化，不管训练什么机器学习模型，最好都先对数据集进行归一化，这是因为，归一化不仅可以提高模型正确率（针对不具有伸缩不变性的机器学习算法），还可以加快模型收敛，提升训练速度。
六、举个例子[5]
例如用SVM做手写数字识别，如果直接用未归一化的原始数据集训练模型，则预测时所有输出都为同一类别，全部对应数字1，正确率也只有10%左右。
可以用libsvm中提供的归一化工具——svm-scale，将符合SVM格式要求的原始数据集归一化到指定的范围内，具体命令为：
svm-scale –l 0–u 1 train.txt > train-to-one.txt
这可以把原始数据集train.txt归一化到[0, 1]，并将结果存入train-to-one.txt。
用归一化后的数据集训练模型并预测，可以发现，准确率和模型训练速度都明显提高。
引用
[1] 博客园. 数据归一化和两种常用的归一化方法[EB/OL]. http://www.cnblogs.com/chaosimple/archive/2013/07/31/3227271.html, 2017-8-6.
[2] 知乎. 在进行数据分析的时候，什么情况下需要对数据进行标准化处理？[EB/OL]. https://www.zhihu.com/question/30038463/answer/50491149, 2017-8-7.
[3] 知乎. 处理数据时不进行归一化会有什么影响？归一化的作用是什么？什么时候需要归一化？有哪些归一化的方法？[EB/OL]. https://www.zhihu.com/question/20455227, 2017-8-7.
[4] 知乎. 数据特征的归一化，是对整个矩阵还是对每一维特征？[EB/OL]. https://www.zhihu.com/question/31186681/answer/50929278, 2017-8-7.
[5] CSDN. libsvm中数据归一化的重要性[EB/OL]. http://blog.csdn.net/jeryjeryjery/article/details/72649320, 2017-8-6.
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文章来自简书，作者：就是杨宗
原文链接：http://www.jianshu.com/p/f9bde6a37d75
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