微分和泰勒多项式在近似计算中的应用

作者: 遨游于学海 | 来源:发表于2023-09-26 21:19 被阅读0次

例如，估算 $\sqrt 3$ 。
我们知道 $\sqrt 1=1$ ，因此我们设
$f(x)=\sqrt x,x_0=1$ ，于是
$\sqrt 3=f(\sqrt 3)$ ，
因此 $\Delta y=f(3)-f(1)$ ，我们只要大致知道这个差值，就可以知道 $\sqrt 3$ 大概是多少了，由微分的概念，我们可以知道 $\Delta y \approx dy$ ，而
$dy=\frac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}dx$
将 $\Delta x=3-1=2,x=x_0=1$ 代入得
$dy=\frac{1}{2} \times 1 \times 2=1$
因此，
$f(3) \approx f(x_0)+dy=1+1=2$
这个结果还是和实际值差得比较远的，但是我们知道微分是泰勒多项式的特例，因此，我们以3阶泰勒公式为例，再近似，于是得到
$\sqrt 3 \approx f(x_0)+f'(x_0)(x-x_0)+\frac{f''(x_0)}{2!}(x-x_0)^2+\frac{f'''(x_0)}{3!}(x-x_0)^3 \\ =f(1)+f'(1)\times 2+\frac{f''(1)}{2!}\times 2^2+\frac{f'''(1)}{3!}\times2^3 \\ =1+\frac{1}{2}\times 2+\frac{-\frac{1}{4}}{2}\times 4+\frac{\frac{3}{8}}{6} \\ =1.5625$
我们可以看到随着阶数的增加，与实际值的误差也就越小，
当 $x_0=4,\Delta x=1$ 时，我们就容易近似计算 $\sqrt 5$ ，即
$\sqrt 5 \approx 2+\frac{1}{4}-\frac{1}{64}+\frac{1}{512} \approx 2.24$
为什么要这里不取 $x_0=1$ 了呢？因为只有在 $\Delta x$ 比较小时，误差才会比较小。