提出问题

近来在继续深化插件，打算做一些有趣的东西来。
　　然后，其中有一个问题，和统计学有点关系，正好今天在搞。
　　问题本身是这样的：

倘若，人对事物的喜好是可以被量化的，喜好度为0到1之间的一个实数，记为p。
　　接着，假定一个物体本身具有一个特定的“好感度”，记为q。
　　如果q比p大，那么这个人就会喜欢这样东西，从而给点赞。
　　那么，如果有N个人，面对一个物体，大概会有多少人为这个物体点赞？

这个问题当然可以推广，比如将上述的“物体”推广为文章，于是这就成了一篇文章会有多少人点赞的问题了。

为了解决这个问题，我们需要对这个情景做一个简单的建模。

回答

一个社群有N个人，这N个人对某个事物的喜好程度会是怎么个分布？
　　有可能是随机分布，不过个人认为更可能的是β分布。
　　如果是随机分布，那么这N个人对特定事物的喜好或者说审美品位就是在0到1之间等概率密度的分布，从而平均下来是0.5——这也就是说，如果这个物体的萌度或者说格调为q，那么这N个人中任意一个人喜欢它的概率都将是q，因为随机分布下，一个随机数有q的概率小于q。
　　这样，整个分布就是概率为q的二项式分布：

　　很显然，现在这样东西如果本身格调高，那么就会收到更多的点赞；如果本身格调低，那么收到的点赞就少。
　　这个现象很好。

可，如果是β分布，那这个情况就比较复杂了。
　　我们首先就要解决在β分布下，一个人喜欢这样东西的概率有多少。

β分布密度是这样的：

　　取这种形式，我们可以很简单地证明，这个分布的平均值也就是这个群体的平均品位值，就是ρ₀，而其方差则正好就是δ。
　　那么，在这种分布下一个人会喜欢一个格调值为q的东西的概率有多大呢？答案是这样的：

其中

　　对这个公式，大概大家应该没什么概念，我们来看一下它的分布图吧：

　　这是ρ₀=0.2，δ=0.01时的曲线，其中蓝色的是概率密度分布，红色的是概率分布。当q=0.8时，这个群体里的一个人会喜欢这样东西的概率为接近100%，q=0.5时的概率为99.35%，q=0.3时的概率为83.92%，q=0.2时为55.19%。
　　反过来，当ρ₀=0.8，δ=0.01时，曲线是这样的：