引力场方程

广义相对论中的引力场方程描述了时空中的物质分布与时空几何之间的关系（前者决定后者）。

引力场方程的完整形式是一组10个耦合的非线性双曲-椭圆偏微分方程，但其可以用一个简单的二阶张量方程来概括，该方程将局部能量与动量（以应力-能量-动量张量表示）以及局部时空曲率（以爱因斯坦张量表示）联系了起来（能量的存在导致时空弯曲）。

这一方程的基本形式请见图中(1)处，其中Rμν代表里奇曲率张量（简而言之，它衡量某个黎曼度规的几何偏离欧式几何的程度），gμν代表度规张量（它衡量度量空间中的距离与角度，据此我们可以得出流形上曲线的长度），G代表引力常数，c代表真空中光速，Tμν代表应力-能量-动量张量（它衡量度量空间中能量与动量的密度与通量）。

另外，Rμν-1/2*gμν*R=Gμν，而Gμν便是爱因斯坦张量，涉及Gμν的方程形式请见图中(2)处。正是由于度规张量与爱因斯坦张量间存在的关系，引力场方程可以写成一个非线性偏微分方程组。在这种意义上，引力场方程的解便是度规张量gμν的分量，由此我们可以确切地了解时空几何。随后，我们亦能运用测地线方程来得出粒子的惯性轨迹。

上述张量方程含宇宙常数的形式请见图中(3)处，其中Λ代表宇宙常数，即爱因斯坦为抵消宇宙中物质-能量的引力作用而在方程中引入的一种比例常数，如今一般认为正在使宇宙加速膨胀的暗能量便发挥着宇宙常数的作用。以上3个方程的符号规则请见图中(4)处。

总而言之，根据引力场方程，我们可以得出由时空中的应力-能量-动量所决定的时空的度规张量，或说是由时空中的质量-能量与线动量所决定的时空几何。引力场方程由于揭示了物质、引力与时空的关系而具有重大意义。