卡鲁扎的五维时空

在爱因斯坦的广义相对论中，不但引力场方程可以用四维时空中的张量形式写出来，而且电磁场方程也可以写成张量的形式，这些方程都自然地符合广义相对性原理的思想：在任意坐标变换下形式不变。

但是，这里还存在一个问题，那就是引力场和电磁场各行其是，看上去并没有什么联系。你可能要问，这是一个问题吗？为什么一定要把它们联系在一起呢？它们不是分别工作得好好的吗？也许对我们来讲，这根本不应该是一个问题，但是对爱因斯坦来说却不然，因为他要探索的是自然界的终极规律！他认为自然界应该只有一种作用力，引力和电磁力的作用应该用一个统一的方程表示出来——统一场方程。于是，在建立了广义相对论之后，爱因斯坦开始构建一个更为宏大的物理学图景：将引力场和电磁场统一起来的统一场论。他知道，如果他能成功，这将是人类认识物理规律的终极理论！

就在爱因斯坦还在酝酿他的理论时，有人已经捷足先登了。1919年4月，爱因斯坦收到一封信，这封信来自德国哥尼斯堡大学一个不知名的数学家卡鲁扎。在这封只有几页纸的短信中，卡鲁查让爱因斯坦大吃一惊。

卡鲁扎引入了五维时空（四维空间和一维时间），他把爱因斯坦广义相对论中四维时空的度规张量gμv推广为五维时空中的新度规张量Gαβ（α和β代表下标中的1、2、3、4、5）。这个五维度规既包含爱因斯坦原来的引力场四维度规，也包含了电磁场的度规，换句话说，这位不知名的科学家正在一股脑儿地把当时已知的两种最伟大的场论——爱因斯坦的引力场理论和麦克斯韦的电磁场理论——结合起来。这正是爱因斯坦所寻找的统一场论！

我们来看看卡鲁扎的五维度规张量：

在这个5×5的度规张量矩阵中，左上方的4×4矩阵表示的就是爱因斯坦的引力场，右边以及下边的A1、A2、A3、A4表示的是麦克斯韦的电磁场令剩下一个空位等于1。就这样，卡鲁扎把引力场和电磁场整合到了一起。

在此，卡鲁扎不但想统一引力和电磁力，他还希望让电磁力有着和引力一样的产生原理——时空的变形。他提出，电磁力是时空在第四空间维度上的弯曲。正如质量能让周围的三维空间变形一样，电荷也会影响这第四个空间维度。

乍一看，这好像只是一种数学技巧，只是简单地把时空从四维拓展到五维。但令人震惊的是，只要把五维场论分解成四维场论，麦克斯韦方程和引力场方程便依然如故。换句话说，卡鲁扎成功地把两块拼图拼了起来，因为它们都是一个更大的整体的组成部分，这个整体就是五维时空。

这封信在爱因斯坦那里待了整整两年之久，对卡鲁扎来说，这真是一段考验耐心的日子。看来，爱因斯坦还是心存疑虑的。但爱因斯坦最终确认这篇文章是值得公布的，于是推荐其在《普鲁士科学院会议报告》上发表，并冠以一个令人印象深刻的题目——《论物理学的统一问题》。

卡鲁扎的论文发表后，受到的质疑大大多于赞同，大家一致的疑问是：第五维在哪儿？因为根本没有任何实验证据，而卡鲁扎也拿不出能证实第五维存在的实验方案。

几年后，瑞典物理学家克莱因替卡鲁扎回答了这个问题。他的回答很聪明：额外的维度蜷缩成一个尺度为普朗克长度（10-35m）的微小圆圈。也就是说，额外的空间坐标轴不像其他坐标轴那样是伸展开来的直线，而是在每一个四维时空点蜷缩成一个个很小的圆圈，被束缚在我们不可能测量得到的极其微小的区域之内，所以在实验上是观察不到的。打个比方来说，这很像是橙子的表面，如果你靠近去看它，它的表面是凸凹不平的，布满了皱褶；但如果你从远处去看它，你就看不到那些皱褶，它似乎是光滑的。

网格结构代表三维空间，圆圈代表微小的蜷缩维，这些圆圈存在于每一点，为了清楚起见，我们只把它们画在网格的交点处

克莱因这一猜测是无法验证的，物理学家们不相信无法用实验验证的理论，所以他们对此不感兴趣。另外，五维时空理论还存在着一些与实验事实不符的致命缺陷。该理论所预言的粒子不可能是电子、质子或任何已知的基本粒子，它所预言的粒子都很重，即使最轻的也要比已知粒子重19个数量级，以至于这些粒子之间的引力将同电磁力一样强，这在普通原子中当然是不可能的。也许正是由于这个困难，爱因斯坦对增加额外维度的理论心存疑虑。总之，这个模型没有成功，很快就被人们遗忘了。