数学思想方法揭秘-25后记10(原创)

作者: 道悅 | 来源:发表于2020-04-06 06:05 被阅读0次

作者：道悦

先看下定角定高问题，如下图

先讨论 $\measuredangle BAC$ 为锐角的情况，如下图，O是三角形ABC外接圆圆心。

当 $\measuredangle BAC$ 为直角或钝角时，上述结论也成立。

这篇用另一种方法，局部调整法来证明定角定高问题。

局部调整法在前面使用过几次，例如数学思想方法揭秘-3-3的第4题、揭秘-5的30题和31题。

局部调整一般用在动态变化的情况下求最值(最大值、最小值、最优、最差)极值或探求递增递减或正向负向的变化趋势，它通过对问题在某一状态的情况case进行调整，得到另一状态下的case，比较调整前后这两种case情况下结论的变化趋势。

可把局部调整法理解为粗略的定性形式的微积分求导：调整就对应dx，比较调整前后结论的变化就是函数的差值dy，分析dy的变化趋势是增大还是减少。可以结合恩格斯关于微积分的一段话来对比理解局部调整法与微积分求导的类同，他说”只有微积分才能使自然科学有可能用数学来不仅表明状态，并且也表明过程:运动。”。局部调整法既有静止的状态，也有运动，调整就是运动变化，通过调整改变函数自变量，从一个状态(取值)变到另一状态，再分析变化后对应的因变量的变化趋势。

局部调整法和爬山法也比较类似。

局部调整可分为单次调整或多次重复调整。

在碰到动点问题、不等式、求最优解问题时，局部调整法或局部调整思想是我们思维工具箱中很重要的一种思想方法。

这里用初中数学的定角定高求最小面积(最小边长)或确定三角形的形状来讲解局部调整法的运用。

问题1：如下图，已知三角形ABC中，角A大小为一固定值，且为锐角，BC边上的高AD也为一固定值。当三角形ABC面积最小时，它是什么三角形(锐角三角形、直角三角形、钝角三角形)？

这道题可理解为B、C为动点，但BC边对的角A和高AD是定值。角A为锐角，三角形可为锐角三角形、直角三角形或钝角三角形，所以要分类讨论。如果角A为直角或钝角，显然不存在这种分类讨论。

解题思维过程：

因为高AD为定值，显然三角形面积和BC边的长度成正比，面积越大,BC边越大，面积越小边越小，反之亦然。

我们选取直角三角形为起点，可以把这个直角三角形理解为三角形的当前状态或函数自变量(三角形形状，初始形状取值为直角三角形)，将它调整为锐角和钝角三角形(调整后的状态，自变量的取值从直角三角形变为锐角三角形或钝角三角形)来研究BC长度(这个长度就是函数因变量)的变化趋势。

首先调整为锐角三角形，如下图。

再调整为钝角三角形，如下图。

所以可知：

1）在定角(锐角)定高情况下，当三角形面积最小时，必为锐角三角形。

2）随着锐角三角形变为直角三角形,再从直角变为钝角三角形时，面积是递增的。

3）在钝角三角形情况下(假设角B为钝角)，AB边和高AD的夹角 $\theta$ 越大，三角形ABC的面积越大、BC边越大，如下图。

4）从锐角三角形调整为(变为)直角三角形，再从直角三角形调整为钝角三角形，三角形周长是递增的，省略证明。

问题2：在定角(锐角)定高情况下，求三角形的最小面积。

利用问题1的结论，可知面积最小时必为锐角三角形。解题思维过程如下图。

()

结论：

1）三角形为等腰(AB=AC)时面积最小(高AD也是角BAC的角平分线)，用符号 $\beta、h$ 分别表示定角和定高，可得最小面积为 $h^2\tan \frac{\beta }{2}$ ，BC最小为 $2h\tan \frac{ \beta }{2}$ 。

高中阶段用三角函数也可得出等腰时面积最小，也就是BC边长最小，如下面两张图。

高中三角函数法1(万能公式)

高中三角函数法2

2）由上图的调整可得出，在角A为锐角情况下，角B或角C越接近90度，则面积越大、BC越大。例如角A为40度，AD为1，则角B为60度时的BC小于角B为89度时的BC，角B为89度时的BC小于角B为89.5度时的BC。也就是此时的三角形趋向直角时，面积是递增的，越来越大，面积的极限(最大值)就是直角时的面积 $\frac{ 1}{2} h^2\tan\beta$ ，BC的极限是 $h\tan \beta$ 。

3）由1)和2)可知，A为锐角时，三角形面积和BC有最小值，但没有最大值，最大值只能趋向2)中的极限，但取不到极限，也就是没有最大，只有更大。

问题3：问题2是针对定角为锐角时的结论，对问题2作下一般化的推广，求定角 $\beta$ 定高 $h$ 情况下，三角形的最小面积和BC的最小边长和最大极限。

分类讨论：

a)当定角为锐角时，根据问题2的结论，此时三角形为等腰三角形。最大值极限见问题2。

b)当定角为直角时，参照上面的锐角三角形的证明方法，同理用局部调整法可证明为等腰直角三角形时面积最小，BC边长最小。也可用射影定理加基本不等式或勾股定理加基本不等式或高中三角函数(最简单)，射影定理和三角函数法如下图。

当角B或角C趋向90时，面积和BC均递增，趋向无穷大，高AD趋向直角边。

为直角时的另一种三角函数法

c）当定角为钝角时，同理可用局部调整法证明等腰三角形时面积最小、BC边长最小。当角B或角C趋向180-角A时，面积和BC递增，均趋向无穷大。同理也可用三角函数法。

如果用局部调整法，b和c两种情况可合为一种情况。

如果引用问题1的结论：定角为锐角时，如三角形面积最小则必为锐角三角形。则本问题使用三角函数法就不用分类讨论，因为无论定角的大小，垂足一定在线段BC内部，如图。

综合上述三种情况可得：无论定角A是锐角还是直角或钝角，当其为等腰三角形(AB=AC)时面积最小 $h^2\tan \frac{\beta }{2}$ ，BC最小 $2h\tan \frac{\beta }{2}$ 。最大值极限：角A为锐角时存在；角A为直角或钝角时，无最大值极限，或极限为无穷大。

总结：定角定高求面积最小值问题难在定角为锐角时要进行分类讨论，难在初中阶段没学过三角函数的和差公式，在初中适合用局部调整法得出定性的结论：为等腰时面积最小。

问题4：已知三角形ABC的角A为45度，高AD为2，求三角形的最小面积。

这道题套用问题2的结论。但对初中生，没学过用三角函数如万能公式求22.5度的正切值。

初中阶段解这道题，有多种方法。

首先利用前面的结论，面积最小时，三角形为等腰三角形，AB=AC，高AD为中垂线。

方法1：联想到圆心角是圆周角的2倍，故圆心角为90度，作外接圆O。

角BOC=2倍角A=90度，故三角形BOC为等腰直角三角形。R为半径，BD=DC=OD= $\frac{ \sqrt{2} }{2} R$ ，AO=BO=OC=R。

由AO+OD=AD=2可求出R，其余省略。

方法2：联想到对称，以AB对对称轴，作AD的对称线AD1，同理以AC为对称作AD2，延长D1B和D2C交于点E，易证AD1ED2为正方形，且边长等于AD。

方法3，由45度，容易联想到作高BE,再利用勾股定理和相似列方程。

其他两种可能的方法如下图，自行思考下。

问题5.

如下图，在矩形ABCD中，AD=1，AB= $\sqrt{3}$ ，点E为AB边上的动点，点F和点G为DC边上的两个动点，且 $\measuredangle FEG=45度。$ 求线段FG的最大值。

解题思维过程：

FG的最大值不能超过DC，F、G不能超出DC线段，也就是其最大值是受限的，受约束的。

根据前面的结论，FG取最大值时，三角形形状按可能性大小从大到小排列顺序为：钝角三角形->直角三角形-> 锐角三角形。易知EFG可为等腰直角，此时FG为1，小于DC，还有增大FG的调整空间(根据前面得出的结论，增大FG就是将直角三角形EFG变成钝角三角形，此时FG虽然增大，但F、G点仍在DC线段内)，也就是可将直角三角形调整为钝角三角形(角EFG或EGF为钝角)，FG变大(大于1)，所以FG取最大值时，三角形EFG必为钝角三角形。

为什么需要上面的论述？是因为FG大小是受约束的，不能超过DC长度。如果AB过小，则FG取最大值时，三角形EFG有可能不能为钝角。例如将题目修改下：ABCD是边长为1的正方形，角FEG仍为45度。此时EFG为直角三角形ADC时，FG就已经=DC=1了, 显然FG取最大值时，EFG不能为钝角三角形。

得出FG取最大值时EFG形状必为钝角三角形之后，不妨设角EFG为钝角(角EGF为钝角时结论是一样的)，如果FG取最大值时E点不在A点，就将三角形EFG平移使E点与A重合，如下图。这个平移也是调整！还有将G点调整为与C点重合。