随机变量函数的分布

作者: 大梦三千秋 | 来源:发表于2020-04-18 19:30 被阅读0次

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随机变量函数的分布

开篇先引出问题 $\quad$

若要得到一个圆的面积 $Y$ ，总是测量其半径，半径的测量值可看做随机变量 $X$ ，若 $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$ ，则 $Y=\pi X^{2}$ 的分布是什么？
若已知体重 $W(kg)$ 均服从正态分布，在身高 $L(cm)$ 确定的情形下，则体质指数 $BMI=W/L^{2}$ 服从什么分布？

问题：已知随机变量 $X$ 的分布， $Y=g(X)$ ，函数 $g(·)$ 已知，求 $Y$ 的分布。

例 1： 设随机变量 $X$ 的概率分布律为 $Y=X^{2}$ ，求 $Y$ 的概率分布律。
$\begin{array}{c|ccc} X & -1 & 0 & 1 \\ \hline P & 0.1 & 0.6 & 0.3 \end{array}$

解：由题意可知， $X$ 的可能取值为 -1， 0， 1。而 $Y=X^{2}$ ，所以可知 $Y$ 可能取值为 0 和 1。

又因为 $Y=X^{2}$ ，从而 $\{Y=0\}=\{X=0\},\{Y=1\}=\{(X=1)\bigcup(X=-1)\}$

因此 $P(Y=0)=P(X=0)=0.6$

$P(Y=1) = \{P(X=1) \bigcup P(X=-1)\} = P(X=1) + P(X=-1)=0.4$

$Y$ 的概率分布律如下：

$\begin{array}{c|cc} X & 0 & 1 \\ \hline Y & 0.6 & 0.4 \end{array}$

例 2： 设随机变量 X 的概率密度函数为

$f_X(x)= \begin{cases} \cfrac{x}{8} ,& 0<x<4; \\ \\ 0, & \text{其他} \end{cases}$

求 $Y=X^{2}$ 的概率密度函数。

解：由题意可知 $P(0<X<4)=1$ ，从而 $P(0<Y<16)=1$ .

故 $f_Y(y)=0$ ，当 $y\notin (0.16) 时.$

当 $y\in (0,16)$ 时，先考察 $Y$ 的分布函数：

$\begin{aligned} F_Y(y)=P\{Y\leq y\}&=P\{X^{2}\leq y\}=P\{-\sqrt y\leq X \leq \sqrt{y}\} \\ & =P\{0\leq X \leq \sqrt{y}\} = \int_{0}^{\sqrt{y}} \cfrac{t}{8} \, {\rm d}t = \cfrac{y}{16} \end{aligned}$

$\because P\{-\sqrt{y} \leq X < 0\} = 0$
$\therefore P\{-\sqrt y\leq X \leq \sqrt{y}\} =P\{0\leq X \leq \sqrt{y}\}$

故 $f_Y(y)=F'_Y(y)=\cfrac{1}{16}.$ 即 $y$ 服从均匀分布 $U(0, 16).$

或者 $\quad$

当 $y\in (0,16) 时$ ，先考察 $Y$ 的分布函数：

$\begin{aligned} F_Y(y)=P\{Y\leq y\} &= P\{X^{2} \leq y\} = P\{-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}\} \\ &= P\{X\leq \sqrt{y}\} = F_X(\sqrt{y}) \end{aligned}$

$\because P\{X<-\sqrt{y}\}=0.$
$\therefore P\{-\sqrt{y}\leq X \leq \sqrt{y}\} = P\{X\leq \sqrt{y}\}$

故 $f_Y(y)=F'_X(\sqrt{y})=f_X(\sqrt{y})·\cfrac{1}{2\sqrt{y}} = \cfrac{\sqrt{y}}{8}·\cfrac{1}{2\sqrt{y}}=\cfrac{1}{16}.$

即 $Y$ 服从均匀分布 $U(0,16).$

一般，若已知 $X$ 的概率分布， $Y=g(X)$ ，求 Y 的概率分布的过程为：先给出 $Y$ 的可能取值；在利用等价事物来给出概率分布。

若 $X$ 为离散型随机变量，则先写出 $Y$ 的可能取值： $y_1,y_2,\cdots,y_j,\cdots;$ 再找出 $\{Y=y_j\}$ 的等价事件 $\{X\in D\}$ ，得 $P(Y=y_j)=P(X\in D);$
若 $X$ 为连续型随机变量，先根据 $X$ 的取值范围，给出 $Y$ 的取值范围；然后写出 $Y$ 的概率分布函数： $F_Y(y)=P(Y\leq y)$ ，找出 $\{Y\leq y\}$ 的等价事件 $\{X\in D\}$ ，得 $F_Y(y)=P(X\in D)$ ；再求出 $Y$ 的概率密度函数 $f_Y(y).$

定理： 设随机变量 $X\sim f_X(x), -\infty<x<+\infty,Y=g(X),g'(x)>0$ (或 $g'((x)<0$ )，则 $Y$ 具有概率密度为：

$f_Y(y)= \begin{cases} f_X(h(y))·|h'(y)|, & \alpha < y < \beta, \\ \\ 0, & \text{其他}. \end{cases}$

注意：

这里 $(\alpha, \beta)$ 是 $Y$ 的取值范围，其中： $\alpha=g(-\infty), \beta=g(+\infty).$ 当 $g'(x)<0$ 时， $\alpha=g(+\infty), \beta=g(-\infty)$
h 是 g 的反函数，即 $h(y)=x \iff y=g(x)$ .

例 3： 设 $X\sim N(\mu,\sigma^{2}), Y=aX+b(a\neq b)$ ，求 $Y$ 的概率密度 $f_Y(y).$

解： $y=g(x)=ax+b,g'(x)=a\neq 0,$

$\quad \quad x = h(y)=(y-b)/a, h'(y)=1/a,$

$\begin{aligned} f_Y(y)&=f_X\left(\cfrac{y-b}{a} \right)· \cfrac{1}{|a|}=\cfrac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma} \, {\rm exp} \left[- \cfrac{\left((y-b)/a-\mu\right)}{2\sigma^{2}} \right] · \cfrac{1}{|a|} \\ &= \cfrac{1}{\sqrt{2\pi}|a|\sigma}\, e^{\cfrac{[y-(a\mu+b)]^{2}}{2a^{2}b^{2}}} \implies Y\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2}) \end{aligned}$

一般地，若随机变量 $X\sim N(\mu, \sigma^{2})$ ，则有 $Y=aX+b \implies Y\sim N(a\mu+b,a^{2}\sigma^{2})$

例如：

$X\sim N(1,3), Y=3-2X$

$\because a\mu+b = -2\times 1 + 3 = 1$

$\quad a^{2}\sigma^{2}=(-2)^{2}\times 3 = 12$

$\therefore Y\sim N(1,12)$

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