减法与0的发现

我们在平时生活中一般不会从基本原理去思考问题。那么做的话，我们在精神上会受不了。所以，我们人生的大部分时间是在类推或模仿他人中度过的。不过当我们要去开辟一个新的领域，或者从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。——埃隆·马斯克

也许在文明刚开始时，仅靠加法和乘法就能够满足人类需求。当人类发明了货币，出现了商品借贷，减法运算也成了一个必要条件。

减法是加法的逆运算，被定义为抵消加的过程。

但是减法运算会出现减不了的情况，比如盘子里有3个苹果，拿掉5个，就不知道该怎么计算了。也就是说减法运算的结果不一定是自然数。比如有两个自然数和，如果，那么肯定是自然数；反之，如果，那么一定不是自然数(注：这里自然数不包括0)。这时，就需要发明新的数字，使得在这些数字范围内能够进行减法运算。0和负数就来源于这些想法。

首先，假设，例如，就不是自然数。那我们该如何增加自然数来解决的问题？

因为你已经知道了，所以可能会奇怪为什么我们要思考等于什么。下面假装我们不知道0的存在，重新体验一下发现0的过程。

数学经常使用的手法是让新增数字套用既存的定律，不改变基本定律是推出新数字的引导线。可以从加法运算的结合律推出包含减法运算的结合律：

当时，有：

因为自然数大于，因此可以运用自然数之间的减法运算，结果为。
所以有：

这个我们不知道的数字有一个特点，即与任何数字相加，结果都不会改变。同理，不管是还是，结果都一样。因此，我们用一个相同的符号0来表示，即：

0与任何数字相加，都等于该数字。

最后，我们来看0和任何数字相乘：

因此，0和任何数字相乘都等于0。

自文明开端，人类就已经知道如何使用自然数进行计算。数字最初是用来计算苹果、橘子等物体的个数，使用数字来表现什么都没有的状态，需要依靠思维的飞跃。

0诞生于印度，之后随着香料贸易传入伊斯兰社会。伊斯兰文明黄金时期担任巴格达图书馆馆长的天文学家和数学家花拉子米发展了使用0的数学。花拉子米解说印度十进制计数法的图书以《algorithm》为题在欧洲出版，algorithm是花拉子米拉丁语的读法，这个词也是算法的词源。

《用数学的语言看世界》[日] 大栗博司 著；尤斌斌 译