减法与0的发现

作者: 乘瓠散人 | 来源:发表于2022-02-20 13:59 被阅读0次

我们在平时生活中一般不会从基本原理去思考问题。那么做的话，我们在精神上会受不了。所以，我们人生的大部分时间是在类推或模仿他人中度过的。不过当我们要去开辟一个新的领域，或者从真正意义上去创新时，必须得从基本原理出发。——埃隆·马斯克

也许在文明刚开始时，仅靠加法和乘法就能够满足人类需求。当人类发明了货币，出现了商品借贷，减法运算也成了一个必要条件。

减法是加法的逆运算 $(a - b)+b=a$ ，被定义为抵消加 $b$ 的过程。

但是减法运算会出现减不了的情况，比如盘子里有3个苹果，拿掉5个，就不知道该怎么计算了。也就是说减法运算的结果不一定是自然数。比如有两个自然数 $a$ 和 $b$ ，如果 $a>b$ ，那么 $(a-b)$ 肯定是自然数；反之，如果 $a\leq b$ ，那么 $(a-b)$ 一定不是自然数(注：这里自然数不包括0)。这时，就需要发明新的数字，使得在这些数字范围内能够进行减法运算。0和负数就来源于这些想法。

首先，假设 $a=b$ ，例如 $a=b=1$ ， $(1-1)$ 就不是自然数。那我们该如何增加自然数来解决 $(1-1)$ 的问题？

因为你已经知道了 $(1-1)=0$ ，所以可能会奇怪为什么我们要思考 $(1-1)$ 等于什么。下面假装我们不知道0的存在，重新体验一下发现0的过程。

数学经常使用的手法是让新增数字套用既存的定律，不改变基本定律是推出新数字的引导线。可以从加法运算的结合律推出包含减法运算的结合律：
$a + (b-c) = (a+b) - c$
当 $b=c=1$ 时，有：
$a + (1-1)=(a + 1) - 1$
因为自然数 $(a+1)$ 大于 $1$ ，因此可以运用自然数之间的减法运算，结果为 $a$ 。
所以有：
$a + (1-1)=a$
$(1-1)$ 这个我们不知道的数字有一个特点，即与任何数字相加，结果都不会改变。同理，不管是 $(3-3)$ 还是 $(100-100)$ ，结果都一样。因此，我们用一个相同的符号0来表示，即：
$a+0 = 0+a = a$
0与任何数字相加，都等于该数字。