高中数学攻略：如何记牢三角公式

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-08 20:14 被阅读0次

前言

『三角函数』（及解三角形）是高考数学中的重要内容。

从教师的角度来看，这是高中数学中难度较低的内容，通常安排在高一年级第一学期。

从学生的角度来看，好多人会在三角函数版块遭遇高中阶段的第一次挫折：公式太多，记不住；而且有些公式容易混淆。

本文的目的，就是帮助高中生克服 “三角公式太多记不住”的困难。基本的思路是：记住核心的公式，再从核心公式推出其余的公式。

三角函数的定义及基本的恒等关系

三角函数在初中数学中已经介绍过。高中数学中引入了任意角和弧度制，并重新定义了三角函数：

三角函数的定义

如上图所示，任意角 $\theta$ 的三角函数定义如下：

$\cos \theta = \dfrac{x}{r}$ 『定义1』

$\sin \theta = \dfrac{y}{r}$ 『定义2』

$\tan \theta = \dfrac{y}{x}$ 『定义3』

由勾股定理得出的结论

注意到 $r^2=x^2+y^2$ ，马上可以得到以下恒等式：

$\boxed {\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1}$ 『公式1』

该公式可以视作勾股定理的一个推论。本文中记作：『公式1』. 注意这个公式有多种变形，如：

$\cos^2\theta=1-\sin^2\theta$

$\sin^2\theta=1-\cos^2\theta$

这个公式十分简洁，十分重要。在后面多个公式的推导中会用到这个公式；同时它也是常用考点。所以这里用加框的方式加以强调。

由任意角定义得出的结论

$\cos ( \theta +2 k \pi ) = \cos \theta \quad (k \in \mathbf{Z} )$ 『公式2』

$\sin ( \theta +2 k \pi ) = \sin \theta \quad (k \in \mathbf{Z})$ 『公式3』

从函数的角度来看，正弦和余弦函数的最小正周期都是 $2\pi$ .

由对称性得出的结论

由对称性推导公式

古希腊的哲学家认为：圆是世间最完美的几何图形。理由是：圆具有无限多的对称轴；所有通过圆心的直线都是它的对称轴。

如上图所示， $P_1,P_2$ 分别是 $\theta$ 和 $-\theta$ 的终边与单位圆的交点。

由对称性可知，若点 $P_1$ 的坐标为 $(x,y)$ ，则点 $P_2$ 坐标为： $P_2(x,-y)$ . 于是得到以下公式：

$\cos ( - \theta ) = \cos \theta$ 『公式4』

$\sin ( - \theta ) = - \sin \theta$ 『公式5』

这两个公式表明：余弦函数是偶函数；正弦函数是奇函数。

$(\theta + \pi)$ 与 $(\theta - \pi)$ 的终边是同一直线，与单位圆的交点为 $P_3(-x,-y)$ ，所以：

$\cos ( \theta \pm \pi ) = - \cos \theta$ 『公式6』

$\sin ( \theta \pm \pi ) = - \sin \theta$ 『公式7』

余角相关的公式

由前节的两对公式可以推出余角相关的公式：

$\cos ( \pi - \theta ) =\cos ( \theta - \pi) = - \cos \theta$ 『公式8』

$\sin ( \pi - \theta ) =- \sin (\theta - \pi ) = \sin \theta$ 『公式9』

两角之差的余弦公式

两角之差的余弦公式如下：

$\boxed { \cos ( \alpha - \beta ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta }$ 『公式10』

注意：余弦函数是偶函数，所以 $( \alpha - \beta )$ 与 $( \beta-\alpha )$ 的余弦值是相等的。

$\cos ( \beta-\alpha ) = \cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta$

以上公式可用文字表述如下：

两角之差的余弦等于这两个角的余弦的乘积加上这两个角的正弦的乘积。

这个公式的推导方法有多种。比较简洁的方法是在直角坐标系中用距离公式推导。因为本文的主题是“如何记牢”，这里只给出示意图，以后再专门介绍这一公式的推导过程。

注意：这个公式是 核心公式中的核心，务必牢记。由该公式可以推导得出关于两角之和与差的其它公式。

在本文中记作『公式10』.

两角和与差的三角函数

由两角之差的余弦公式容易推导出两角之和的余弦公式：

$\because \cos ( \alpha + \beta )=\cos ( \alpha - -\beta )$

$= \cos \alpha \cos (-\beta) + \sin \alpha \sin(-\beta)$

$\therefore \cos ( \alpha + \beta )=\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta$ 『公式11』

$\because \cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)=\cos\dfrac{\pi}{2}\cos\theta+\sin\dfrac{\pi}{2}\sin\theta$

$=0\cdot\cos\theta+1\cdot\sin\theta=\sin\theta$

$\therefore \sin\theta=\cos(\dfrac{\pi}{2}-\theta)$

$\therefore \sin (\alpha+\beta)=\cos[\dfrac{\pi}{2}-(\alpha+\beta)]$
$=\cos[(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)-\beta]$

$=\cos(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)\cos \beta + \sin(\dfrac{\pi}{2}-\alpha)\sin \beta$

$=\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta$

$\therefore \sin ( \alpha - \beta ) =\sin ( \alpha + - \beta )$
$= \sin \alpha \cos(- \beta) + \cos \alpha \sin(-\beta)$

$= \sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta$

两角和与差的正弦公式可以总结如下：

$\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$ 『公式12』

余角相关的公式（推导思路之一）

余角相关的这一组公式在教科书上称为“诱导公式”。习惯上，一般是先讲诱导公式再讲两角和与差的余弦和正弦。然而，从学生的角度来说，最让人困惑的恰恰是诱导公式。

其实，诱导公式也可以从两角和与差的正弦余弦公式推导得出。

我们已经在前面推导出以下关于两角和差的公式：

$\cos ( \alpha \mp \beta ) = \cos \alpha \cos \beta \pm \sin \alpha \sin \beta$

$\sin ( \alpha \pm \beta ) = \sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$

另一方面，直角的正弦和余弦值也是已知的：

$\sin \dfrac{\pi}{2} = 1; \; \cos \dfrac{\pi}{2} = 0$

将直角的正弦和余弦值代入两角和差的余弦公式可得：

$\cos (\dfrac{\pi}{2}-\theta) = 0 \cdot \cos \theta + 1 \cdot \sin \theta = \sin \theta$ 『公式13』

$\cos(\theta-\dfrac{\pi}{2}) =\cos \theta \cdot 0 + \sin \theta \cdot 1 = \sin \theta$ 『公式14』

$\cos(\theta+\dfrac{\pi}{2}) =\cos \theta \cdot 0 -\sin \theta \cdot 1 = -\sin \theta$ 『公式15』

将直角的正弦和余弦值代入两角和差的正弦公式可得：

$\sin (\dfrac{\pi}{2} - \theta) =1 \cdot \cos \theta - 0 \cdot \sin \theta=\cos \theta$ 『公式16』

$\sin(\theta-\dfrac{\pi}{2}) =\sin \theta \cdot 0 - \cos \theta \cdot 1= -\cos \theta$ 『公式17』

$\sin(\theta+\dfrac{\pi}{2}) =\sin \theta \cdot 0 +\cos \theta \cdot 1= \cos \theta$ 『公式18』

在『公式10』的推导过程中，我们的依据是勾股定理和三角形全等关系，所以，这样做是没毛病的，不存在“循环论证”。

从应试的角度来看，用这条思路来记忆余角相关的这6个公式，效果是比较好的。

余弦函数的二倍角公式

由『公式10』可以推出二倍角的余弦公式：

$\cos 2 \theta = \cos ^2 \theta - \sin ^2 \theta$ 『公式19』

结合前面的『公式1』，可以该公式的另外两种形式：

$\cos 2 \theta = 2 \cos ^2 \theta - 1$ 『公式20』

$\cos 2 \theta = 1- 2 \sin ^2 \theta$ 『公式21』

应用平方差公式，可以得出另外一种形式：

$\cos 2 \theta = (\cos \theta + \sin \theta)(\cos \theta - \sin \theta)$ 『公式22』

二倍角的余弦公式有多种变形。在解题过程中，我们有时还会用到以下推论：

$1+\cos 2\theta=2\cos^2\theta$ 『公式23』

$1+\cos \theta=2\cos^2 \dfrac{\theta}{2}$

$1-\cos 2\theta=2\sin^2\theta$ 『公式24』

$1-\cos \theta=2\sin^2\dfrac{\theta}{2}$

正弦函数的二倍角公式

由『公式12』可以推出二倍角的正弦公式：

$\sin 2 \theta=\sin (\theta +\theta)= 2 \sin \theta \cos \theta$ 『公式25』

正切函数相关的一组公式

结合正切函数的定义和正弦余弦函数的性质可推出以下公式：

$\tan \theta = \dfrac{ \sin \theta }{ \cos \theta }$ 『公式26』

$\tan (- \theta ) = \dfrac{ \sin (-\theta) }{ \cos (- \theta ) } = - \tan \theta$ 『公式27』

$\tan ( \theta \pm \pi ) = \dfrac{ \sin ( \theta \pm \pi ) }{ \cos ( \theta \pm \pi ) } = \tan \theta$ 『公式28』

$\tan (\dfrac{\pi}{2} - \theta)=\dfrac{\sin ( \dfrac{\pi}{2} - \theta)}{\cos ( \dfrac{\pi}{2} - \theta)}=\dfrac{\cos \theta}{\sin \theta}=\dfrac{1}{\tan \theta}$ 『公式29』

$\tan ( \alpha - \beta ) = \tan ( \alpha + - \beta ) = \dfrac{ \tan \alpha + \tan \beta }{ 1 - \tan \alpha \tan \beta }$ 『公式30』

$\tan 2 \theta = \dfrac{ 2 \tan \theta }{ 1 - \tan ^2 \theta }$ 『公式31』

$\tan ^2 \theta + 1 = \dfrac{1}{\cos ^2 \theta}$ 『公式32』

$\dfrac{1}{\tan ^2 \theta} + 1 = \dfrac{1}{\sin ^2 \theta}$ 『公式33』

$\sin \theta \cos \theta = \tan \theta \cos ^2 \theta = \dfrac { \tan \theta }{ \tan ^2 \theta +1 }$ 『公式34』

积化和差与和差化积

由两角和与差的余弦公式可得：

$\cos \alpha \cos \beta + \sin \alpha \sin \beta=\cos ( \alpha - \beta )$

$\cos \alpha \cos \beta - \sin \alpha \sin \beta=\cos ( \alpha + \beta )$

以上两式相加、相减可得：

$2 \cos \alpha \cos \beta = \cos ( \alpha - \beta ) + \cos ( \alpha + \beta )$ 『公式35』

$2 \sin \alpha \sin \beta = \cos ( \alpha - \beta ) - \cos ( \alpha + \beta )$ 『公式36』

由两角之和与差的正弦公式可得：

$\sin \alpha \cos \beta + \cos \alpha \sin \beta=\cos ( \alpha + \beta )$

$\sin \alpha \cos \beta - \cos \alpha \sin \beta=\cos ( \alpha - \beta )$

两式相加可得：

$2 \sin \alpha \cos \beta = \sin ( \alpha - \beta ) + \sin ( \alpha + \beta )$ 『公式37』

注意以下关系：

$\dfrac{\alpha+\beta}{2}+\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\alpha$

$\dfrac{\alpha+\beta}{2}-\dfrac{\alpha-\beta}{2}=\beta$

结合前面的3个公式，可以推出以下公式：

$\cos\alpha+\cos\beta=2\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ 『公式38』

$\cos\alpha-\cos\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ 『公式39』

$\sin\alpha+\sin\beta=2\sin\dfrac{\alpha+\beta}{2}\cos\dfrac{\alpha+\beta}{2}$ 『公式40』

在上个世纪的教科书中，有独立的章节专门介绍积化和差与和差化积公式。人教版的新课标教材中，没有安排专门的章节，而是在一组练习中介绍这些公式。参见：《数学-必修4》§3.2的练习部分。教科书这样安排，可能是想培养学生自己探究的习惯。

从应试的角度来说，如果熟悉这组公式，在解答某些问题的时候就有可能多一种思路，或者提高了解答的效率。所以，对教科书中的练习一定要高度重视。

3倍角相关公式

3倍角公式有多条路径可以推出。以下我们用和差化积的方法推导。

$\because \cos 3 \theta + \cos \theta = \cos ( 2 \theta + \theta) + \cos ( 2 \theta - \theta)$

$= 2 \cos 2 \theta \cos \theta$ 『公式41』

$\therefore \cos 3 \theta = 2 \cos 2 \theta \cos \theta - \cos \theta$

$= 2 (2\cos^2 \theta-1) \cos \theta - \cos \theta$

$\therefore \cos 3 \theta = 4 \cos^3 \theta - 3 \cos \theta$ 『公式42』

$\because \sin 3 \theta + \sin \theta = \sin ( 2 \theta + \theta) + \sin ( 2 \theta - \theta)$

$= 2 \sin 2 \theta \cos \theta$ 『公式43』

$\therefore \sin 3 \theta = 2 \sin 2 \theta \cos \theta - \sin \theta$

$= 4 \sin \theta \cos ^2 \theta - \sin \theta$

$= 4 \sin \theta(1- \sin ^2 \theta) - \sin \theta$

$\therefore \sin 3 \theta = -4 \sin^3 \theta + 3 \sin \theta$ 『公式44』

需要注意的是：3倍角在考题中基本上不会单独出现。『公式41』和『公式41』出场的机会可能比另外两个公式更多一些。不论它以何咱形式出现，掌握基本的方法和思路是解决问题的正道，死记硬背是解决不了问题的。

总结

学数学就是学推导。在探讨学习数学的经验时，我们时不时地会听到高手这样说：“我从来不背公式，都是用到的时候现推”。

三角函数这一版块的特点是：公式众多。但在熟悉了推导过程后会发现：这批数量众多的公式地位并不平等。打个比方，就好像竹根、竹枝与竹叶的关系。假如我们掌握了竹根，竹枝和竹叶就可以自然地生长出来。

记牢公式，会用公式，就可以得分。关于如何“用公式”的问题，我会在后续的文章中结合具体的实例来介绍。

有兴趣的同学可以先看这个：

2013年理科数学全国卷二题17

高中数学攻略：如何记牢三角公式

前言

三角函数的定义及基本的恒等关系

由勾股定理得出的结论

由任意角定义得出的结论

由对称性得出的结论

余角相关的公式

两角之差的余弦公式

两角和与差的三角函数

余角相关的公式（推导思路之一）

余弦函数的二倍角公式

正弦函数的二倍角公式

正切函数相关的一组公式

积化和差与和差化积

3倍角相关公式

总结

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