解析几何之目：弦长和面积：2014年理数全国卷A题20

解析几何之目：弦长和面积：2014年理数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2020-12-17 22:24 被阅读0次

标签：高中数学高考真题解析几何

2014年理科数学全国卷一题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 $A（0，-2）$ ，椭圆 $E: \dfrac{x^2}{a^2} + \dfrac{y^2}{b^2} = 1 (a \gt b \gt 0)$ 的离心率为 $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$ , $F$ 是椭圆 $E$ 的右焦点，直线 $AF$ 的斜率为 $\dfrac{2 \sqrt{3}}{3}$ ， $O$ 为坐标原点.

（I）求 $E$ 的方程;
（Ⅱ）设过点 $A$ 的动直线 $l$ 与 $E$ 相交于 $P，Q$ 两点.当 $\triangle OPQ$ 的面积最大时，求 $l$ 的方程.

【解答问题I】

依题意可知，直线 $AF$ 的方程为： $y= \dfrac{2 \sqrt{3}}{3} x -2$ . 其与 $x$ 轴的交点为 $(\sqrt{3},0)$ .

所以 $c=\sqrt{3}, a=\dfrac{c}{e}=2, b^2=a^2-c^2=1$ , 椭圆 $E$ 的方程为： $\dfrac{x^2}{4} + y^2 = 1$

【问题Ⅱ分析】

注意以下的示意图， $O,A,P,Q$ 四点可构成3个三角形（两小一大）： $\triangle OPQ, \triangle OAQ, \triangle OAP.$

两个小三角形的面积之和等于大三角形的面积。其中， $\triangle OAP$ 和 $\triangle OAQ$ 的面积计算较为容易，可以根据这两个三角形的面积，计算 $\triangle OPQ$ 的面积。

【解答问题Ⅱ】

$S_{\triangle OPQ} = S_{\triangle OAQ} - S_{\triangle OAP}$

$S_{\triangle OAQ}= \dfrac{1}{2} |OA| \cdot |x_{_Q}| , \; S_{\triangle OAP}= \dfrac{1}{2} |OA| \cdot |x_{_P}|$

若直线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，则 $P,Q$ 两点在 $y$ 轴上， $\triangle OPQ$ 的面积为0. 以下讨论斜率存在的情况。

因为点 $A$ 在 $y$ 轴上，所以 $P,Q$ 两点位于 $y$ 轴同侧，其 $x$ 坐标同正或同负。

已知 $|OA|=2$ , 所以 $S^2_{\triangle OPQ} = \dfrac{1}{4} \cdot 2^2 \cdot (x_{_P} - x_{_Q})^2 =(x_{_P} - x_{_Q})^2$

$P,Q$ 两点是直线与椭圆的公共点，满足以下方程：

$\left\{ \begin{array} \\ y = k x -2 \\ x^2 + 4 y^2 = 4 \\ \end{array} \right.$

代入消元后可得： $(4k^2+1)x^2-16kx+12=0$

$\Delta = (-16k)^2 - 4(4k^2+1)\cdot 12 = 16(4k^2-3)$

$x_1+x_2= \dfrac{16k}{4k^2+1}, \; x_1 x_2 = \dfrac{12}{4k^2+1}$

$(x_1-x_2)^2 = 16[\dfrac{1}{4k^2+1}-\dfrac{4}{(4k^2+1)^2}]$

令 $t=\dfrac{1}{4k^2+1}, \; g(t)= t -4t^2=t(1-4t)$

当 $t=\dfrac{1}{8}$ 时， $g(t)$ 取得最大值， $S_{\triangle OPQ}$ 取得最大值。

由 $\dfrac{1}{4k^2+1}=\dfrac{1}{8}$ 解得 $k=\pm \dfrac{\sqrt{7}}{2}$ , 此时 $\Delta = 64 \gt 0.$

综上所述，当 $\triangle OPQ$ 的面积最大时， $l$ 的方程为： $y=\dfrac{\sqrt{7}}{2} x -2$ $或$ $y=-\dfrac{\sqrt{7}}{2} x -2$ .

【提炼与提高】

三角形的面积有多种计算方法，在高考中出现频率较高。

在以上解法中，经过几何分析后，我们找到了一种计算量较小的路径。如果根据 $PQ$ 长度及与原点的距离计算也是可以的。结论一致，但计算过程就要复杂一些。有兴趣的读者可以自行尝试，并作比较。

考场上的每一分钟都是珍贵的。要想在高考中胜出，就要养成良好的解题习惯：对解析几何问题，要先作几何分析，找出几条可行的解答路径，再粗略比较几种解法的计算成本，选择一条最优解答路径。当然，只有在平时加强训练，才能做到这一点。

关于面积公式的灵活用法，请参考下文：
用初中数学解答高考题：如何用面积公式实现转化？

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