立体几何之目~等积变换实例：2018年文科数学全国卷A题18

立体几何之目~等积变换实例：2018年文科数学全国卷A题18

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-01-14 08:52 被阅读0次

2018年文科数学全国卷A题18（12分）

如图，在平行四边形 $ABCM$ 中， $AB=AC=3$ ， $\angle ACM=90°$ .以 $AC$ 为折痕将 $\triangle ACM$ 折起，使点 $M$ 到达点 $D$ 的位

置，且 $AB \perp DA.$

（1）证明∶平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ ;

（2） $Q$ 为线段 $AD$ 上一点， $P$ 为线段 $BC$ 上一点，且 $BP=DQ=\dfrac{2}{3}DA$ ，求三棱锥 $Q-ABP$ 的体积.

2018年文科数学全国卷A

【解答第1问】

$\because AB \perp DA, AB \perp AC, DA \bigcap AC=A$

$\therefore AB \perp$ 平面 $ACD$

$\because AB \subset$ 平面 $ABC$

$\therefore$ 平面 $ACD \perp$ 平面 $ABC$ . 证明完毕.

【解答第2问】

体积比可以化为面积比

注意以下几个四面体的联系:

$Q-ABP$ 与 $Q-ABC$ 是共高四面体，所以 $V_{Q-ABP}:V_{Q-ABP}=S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}$

$Q-ABC$ 与 $D-ABC$ 是共高四面体，所以： $V_{Q-ABC}:V_{D-ABP}=S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}$

$S_{\triangle ABP}:S_{\triangle ABC}=BP:BC=2:3$

$S_{\triangle QAC}:S_{\triangle DAC}=QA:DA=1:3$

$V_{D-ABC}=\dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times DC \times CA \times AB$

$V_{Q-ABP}=\dfrac{2}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{3}\times \dfrac{1}{2} \times 3 \times 3 \times 3=1$

【提炼与提高】

利用四面体的共高关系，可以把体积比转化为面积比；利用三角形的共高关系，可以把面积比转化为线段比。

本题应用这种转化的策略来求解，就显得简洁优雅。另一条思路：先求出四面体的高和底面积，再直接用体积公式求解。当然也是可以的，但是计算方面就略显麻烦。

关于转化策略，在下文中有更详细说明：
用初中数学破解高考数学题：如何用面积公式实现转化？

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