高中数学之纲：如何列方程？

方程与函数的思想，被认为是高中数学中最重要，用得最多的思想。

用方程解决问题，第一步当然是要列出方程。列方程的关键在于：要找到这样一个中介量，它能够把两个不同的对象联系起来；或者找到一个守恒量，它的值在一个变化过程中保持不变。

我们可以打个比方：方程就好比是一座拱桥。建造拱桥的关键是中央的拱心石；建立方程的关键则是找到这个中介量（或者不变量）。

如何寻找拱心石（中介量）？我们下面用一个高考真题来示范一下。

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2015年理科数学全国卷二题17（本题满分12分）

中，是上的点， 平分，面积是 面积的 2 倍.

（I）求：

（II） , 求 和 的长.

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【分析】

下面我们用“自问自答”的方式来展示分析过程。

图中有哪几个三角形？
本题图中有3个三角形：

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这几个三角形间存在什么联系？
这里的3个三角形存在多方面的联系。

1）这3个三角形是共高的三角形。作 ， 为垂足，则： ；; 所以，这3个三角形的面积比可以化为边长之比：

2）两个小三角形的面积之和等于大三角形面积：

3） 与 的联系： 是两个三角形的公共边 ；两个三角形的顶角相等：； 两个角互补：

4） 与 的联系： 是它们的公共角， 是公共边；

5） 与 的联系： 是公共角， 是 公共边；

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【第Ⅰ问解法一】

因为 平分，所以

根据正弦定理可得： .

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【第Ⅰ问解法二】

根据角平分线的性质可知：

又因为 与 是共高的三角形，;

根据正弦定理可得：

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【解第Ⅱ问】

在前面的分析中，我们已经得出结论：

这个题的关键在于 . 经过前面的分析，我们实际上有多条思路可供选择。

以下介绍主要的几条思路，共同的出发点是：设 .

.

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『思路一』 以互补的两个角为拱心石（中介量）。

依据余弦定理可得方程：

『思路二』 把 和 作为拱心石.

因为 平分，所以

依据余弦定理可得方程：

由以上方程可得：.

『思路三』 把 与 的公共角 作为拱心石.

依据余弦定理可得方程：

『思路四』 把 与 的公共角 作为拱心石.
依据余弦定理可得方程：

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【提炼与提高】

方程是一个很大的话题。为了列出方程，需要对问题进行具体分析。本题演示了一种分析问题的技巧：自问自答。

我们以一个具体的问题开局：图中有哪几个三角形（或者其他对象）？

这个问题很具体也很简单，而且经常是有效的。当然，也可以提出其他的问题。读者可以在解题过程中自己总结。

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