假如要求我用一句话来回答这个问题，我的答案是：记牢公式和定理（公理），学会用定理（和公理）分析和解决问题。

假如允许我多说几句，给新升入高中的年轻人一些实际的建议。我的建议是：花一点时间，把初中教材上的平面几何的知识总结一下，熟悉平面几何的体系结构。以初中平面几何为样本，学习建立知识体系。

说得具体一些，可分三步走：

第一步，把教科书上所有的黑体字部分抄在一个本子上。
第二步，区分公理和定理。初中的几何公理共有7个（后面有清单），除了这7个其余都是定理。
第三步，把所有的定理自己推导一遍。

这样做有什么好处呢？打个形象的比方。汽车有大有小。不论是家用的五人座小车，还是载重数十吨的大车，它的基本结构和使用方法都有相似之处。就结构来说，汽车必定要有三大件：发动机、变速箱、底盘。就驾驶的角度来说，你必须掌握这些设备的使用：方向盘、油门、刹车、后视镜... 假如你学会了开小车，到了大车上，很自然地会问：油门和刹车在哪？找到了油门和刹车，就可以把车开走。

假如你完成了我前面提到的三个步骤，你会发现：教科书上的黑体字内容，可以分为三类：
第一类：概念和定义。例如，平行四边形、菱形、矩形、正方形...
第二类：判定定理。例如，根据哪些条件可以判定一个四边形是菱形？
第三类：性质定理。例如，菱形有哪些性质？

高中数学，将会引入更多的概念和定理。与初中阶段相比，内容更丰富，复杂度和抽象程度也提高了。因此，及时的归纳、总结，形成知识的体系，是很有必要的。

例如，函数是初中就已经接触的概念，高中数学中将引入新的函数定义，之后接着引入函数的主要性质：单调性、奇偶性、周期性。
针对单调性，你需要了解：1）定义：什么是单调增（减）函数？2）判定方法：符合哪些条件可以判定一个函数在指定区间是单调增（减）函数？3）性质：在判定一个函数单调增（减）后可以推出哪些结论？

对初中数学的总结，可以帮助你建立一个学习的框架，提高高中的学习效率。

如何记牢公式？不靠背书靠推导。

初中的平面几何有几十条定理，所有定理都可以从7条公理推导得出。
高中数学也是如此。以三角函数为例，常用公式有三十多个。所有公式，都可以从几个基本的公式和定理推导得出。
假如用“背公式”的方式来学习，是学不好数学的，即使暂时背下来，一段时间后也会忘记。假如掌握了公式之间的推导关系，即使偶尔忘记了某个公式也能把它重新推导出来。

简单说来，学数学就是学推导。原因在于，数学是一门演绎科学，是用公理化方法建立起来的。

公理化方法始于古希腊。高中《数学（必修2）》是这样描述的：

大约在公元前300年左右，欧几里得将公元前7世纪以来希腊几何学家积累起来的丰富成果整理、收集起来，并且加以系统化．他从少数已被经验反复验证的公理出发，运用逻辑推理以及数学运算方法演绎出一系列定理与推论，写成了十三卷在数学发展史上具有极其深远影响的数学巨著《原本》，使几何学成为一门独立的、演绎的科学。

欧几里得《原本》是一部划时代的著作，其伟大的历史意义是它在人类数学史中第一次给出了公理化的数学体系．过去所积累下来的数学知识，是零碎的、片断的.欧几里得借助逻辑方法，把这些知识组织起来，加以分类、比较，揭示彼此间的内在联系，整理在一个严密的系统之中．《原本》体现了这种理性精神，它对整个数学的发展产生深远的影响．正因为如此，《原本》得以跨越地域、民族、语言、时间的一切障碍传播到了整个世界．公理化方法作为一种理论形式为人们普遍接受.人们现在已普遍建立了这样的认识，所有的数学理论，都必须按照数学的定义、公理与三段论的逻辑论证来组织。

关于欧几里德，爱因斯坦曾经这样评价:“世界第一次目睹了一个逻辑体系的奇迹,这个逻辑体系如此精密地一步步推进,以致它的每一个命题都是绝对不容置疑的———我这里说的是欧几里德几何。推证的这种可赞叹的胜利,使人类的理智获得了为取得以后成就所必须的信心。”

现行中学教材中的几何公理

按照《初等几何研究》（哈尔滨工业大学出版社）的总结，现行教材的几何公理共有13条，清单如下∶
公理 1 经过两点有一条直线，并且只有一条直线.
公理 2 在所有联结两点的线中，线段最短.
公理 3（平行公理）经过直线外一点，有一条而且只有一条直线和这条直线平行.
公理 4 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
公理 5 （边角边公理）有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.
公理 6（角边角公理）有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.
公理 7 矩形的面积等于它的长和宽的积
公理 8 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线上所有的点都在这个平面内.
公理 9 如果两个平面有一个公共点，那么它们有且只有一条通过这个点的公共直线.
公理 10 通过不在同一条直线上的三点，有且只有一个平面.
公理 11 平行于同一条直线的两条直线互相平行.
公理 12 长方体的体积等于它的长、宽、高的积.
公理 13 （祖暅原理）夹在两个平行平面间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截.如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.

以上清单中，公理1至公理7是初中数学的内容；而公理8至公理13则是高中立体几何的教学内容。

初中数学中一些经常被忽视的内容

在现行的应试教育背景下，学校通常把“刷题”作为备考的主要手段。有些经典的问题，恰恰因为太经典，所以，就成为了“考试不会考到”的那一类。对这类问题，学校老师常常会有意或无意地忽略。

在对初中数学进行整理时，务必要留意这类问题。

我在这里提供一份不完整的清单：
问题1：如何证明【勾股定理】？注意：勾股定理的证明方法有数百种。我要求学生至少要掌握3种。
问题2：《初中数学》七年级下册第5页给出了一个定理：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短。书上没有提供证明。请自行补充。如何证明这一命题？（答案可以到八年级上册第13章找）
问题3：《初中数学》八年级上册第5页给出了定理：三角形的三条中线相交于一点，三角形三条中线的交点叫做三角形的重心。如何证明呢？

问题4：为什么说不是有理数？这个问题在《初中数学》七年级下册第6章有答案。这是数学史上一个非常重要的问题，引发了第一次数学危机。解决这一问题，需要用到反证法。反证法也是一种重要的证明方法，后面这个问题5也要用到反证法。

问题5：素数的数量是有限的还是无限的？如何证明？

每一步推理都要有根据

除了这些具体的“数学问题”，还有解题的规范和思维习惯也很重要。关于证明过程，在教科书（初中数学七年级下册第五章）中有明确的要求：

证明中的每一步推理都要有根据。不能"想当然"。这些根据，可以是已知条件，也可以是学过的定义、基本事实、定理等。

这是一项基本的要求，不仅对平面几何适用，对于整个数学都是适用的。"每一步推理都要有根据”，其实是一种思维习惯，假如养成了这样的习惯，数学就会越来越好。这样的要求，本来是人人都能做到的；但习惯的形成需要一段时间。假如一开始不重视，等到不良习惯形成后再来补救，就会比较困难。

在解题中学习数学思想和方法

关于数学思想和方法，已经有众多高人作了总结。高中数学的思想方法主要有：函数与方法思想、分类讨论思想、数形结合思想、化归与转化思想。

数学思想，有点类似于武侠小说中的“心法”。抽象地谈论几大思想，对于提高数学水平并没有帮助。在解题过程中，不断地归纳总结，方为正道。

这个话题比较大，以后再找机会展开。

---