高中数学之纲：依葫芦画瓢学习「函数思想」

作者: 易水樵 | 来源:发表于2020-11-22 16:27 被阅读0次

标签：高中数学高考真题解三角形函数思想

「函数思想」，是高中数学基本思想之一，用途广泛。然而，学生在学习过程中，常有这种感受：书上的例题能看懂；但自己解题，就是“没有思路”。

本文尝试用一种简单而古老的方法克服这一难题：让学生从具体问题入手，从模仿开始，先模仿再创新，从特殊到一般，掌握这一重要思想及工具。

现以一道高考真题为例，说明函数思想的应用方法。

2013年理科数学全国卷B 题17（本题满分12分）

$\triangle A B C$ 的内角 $A,B,C$ 的对边分别为 $a,b,c$ ，已知 $a = b \cos C+c \sin B$

（I）求 $B$ ；

（II）若 $b=2$ ，求 $\triangle ABC$ 的面积最大值.

【解答第1问】

先解决第1问。这是一个比较基础性的问题。由射影公式可知： $a = b \cdot \cos C+c \cdot \cos B$

结合本题已知条件可得： $c \cdot \sin B = c \cdot \cos B$

所以， $\tan B = 1, B = \dfrac{\pi}{4}$

【第2问的分析与解答】

相对第1问而言，第2问的难度要高一个层次。很多学生的苦恼是“没有思路”。我们现在用“自问自答”的方式来演示：如何寻找解题思路？以下用Q代表问题，用A代表回答。

$\mathbb{Q}$ : 哪些量是已知的，不变的？

$\mathbb{A}$ : 三角形的底边是已知的不变量（ $b=2$ ）；三角形的顶角也是已知的不变量（ $B=45°$ ）. 由于 $B$ 不变，所以, $(A+C)$ 也是已知的不变量。

根据正弦定理，可以求出三角形的外接圆半径。所以，外接圆半径 $R$ 也是已知的不变量。

$\mathbb{Q}$ : 哪些量在变化？待求的是哪个量？

$\mathbb{A}$ : 三角形的两个内角（ $A,C$ ）在变化中，这两个角的对边也在变化中。三角形的面积和周长也在变化中。本题所求是面积的变化范围。

$\mathbb{Q}$ : 变化的量之间存在什么关系？变化量与不变量之间存在什么关系？变化的范围如何？

$\mathbb{A}$ : 三角形的两个内角（ $A,C$ ）在变化中，但这两个角之和却是一个已知的不变量： $A+C= \dfrac {3} {4} \pi$ ，而它们的差却是在变化中，显然，两个角的取值范围是： $[0, \dfrac {3} {4} \pi]$ . 从另一方面考察，三角形的两条边（ $a,c$ ）也在变化中，在变化中，三条边满足以下关系： $a+c \gt b; |a-c| \lt b$ .

三角形的面积（和周长）随着以上这几个量的改变而改变。关于三角形的面积，我们有以下公式：

$\because S_{\triangle ABC}=\dfrac{1}{2}ac \sin B$
$=\dfrac{1}{2} \cdot 2R \sin A \cdot 2R \sin C \cdot \sin B$

$\therefore S_{\triangle ABC}= 2 R^2 \sin A \sin B \sin C$
$= \dfrac{b^2}{2 \sin B} \cdot \sin A \sin C$

结合前面关于变化量与不变量的分析，可以从两个方向寻求突破：

（1）三角形的面积随着 $ac$ 之值的变化；所以，从 $ac$ 到面积 $S$ 之间存在映射关系，面积 $S$ 是 $ac$ 的函数。这种关系可以记作： $ac \rightarrow S$ ，或者： $S=g(ac)$ .

（2）三角形的面积随着两内角的正弦的乘积 $\sin A \sin C$ 的变化而变化；所以，从 $\sin A \sin C$ 到面积 $S$ 存在映射关系，面积 $S$ 是 $\sin A \sin C$ 的函数. 令 $t= \sin A \sin C$ 这种关系可记作： $t \rightarrow S$ ，或者： $S = h(t)$ .

显然，如果落实了 $ac$ 或者 $\sin A \sin C$ 的变化范围，面积的变化范围也就知道了。这是下一步需要解决的问题。对这两个变化量的探求，构成了两条解决思路。

$\mathbb{Q}$ : （思路一） $\sin A \sin C$ 的值随哪些量改变？有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来？函数关系是什么样的？

$\mathbb{A}$ : 应用积化和差公式可以实现变化量与不变量的沟通： $2 \sin A \sin C = \cos(A-C) - \cos(A+C)$

由前面的分析可知： $A+C=135°$ ，是已知的不变量。假如我们引入一个新的记号： $\theta = A-C$ , 则存在以下映射关系：

$\theta \rightarrow \sin A \sin C \rightarrow S$

也就是说：三角形面积是 $\theta$ 的函数。这个函数的解析式为：

$S = f(\theta) = \dfrac{b^2}{4 \sin B} (\cos \theta - \cos(A+C) )$

代入具体数值，可化为：

$S = f(\theta) = \sqrt{2} (\cos \theta + \dfrac{\sqrt{2}} {2} )$ ，函数的定义域为： $\theta \in (- \dfrac{3 \pi} {4} , \dfrac{3 \pi} {4} )$

因此，当 $\theta =0$ 时，函数取最大值： $S_{max} = \sqrt{2} + 1$ .

$\mathbb{Q}$ : （思路二） $ac$ 的值随哪些量改变？有哪些定理可以把这个变化量和不变量关联起来？函数关系是什么样的？

$\mathbb{A}$ : 注意余弦定理的表达式： $\cos B = \dfrac{a^2+c^2-b^2}{2ac}$ ，这个公式中出现了 $ac$ ，而 $B$ 和 $b$ 是已知的不变量。所以，这个公式提供了一个解决问题的方向。

关于 $a$ 与 $c$ 这两边的平方和，有两个完全平方公式：

$(a+c)^2=a^2+c^2+2ab$

$(a-c)^2=a^2+c^2-2ab$

该用哪一个呢？可以从另外一个角度考虑。根据前面的分析。三角形的外接圆半径是已知的不变量。而圆周角具有这样的性质：同一段圆弧所对的圆周角等于圆心角的一半。所以，在 $AC$ 两点固定不变的前提下，在外接圆上任取一点 $B$ ，所得三角形均满足题设条件。其中，面积最大的是一个等腰三角形（ $a$ 与 $c$ 两边相等时，三角形的高达到最大值）。

再回到代数的角度，对余弦公式作变形：
$\because \quad \cos B = \dfrac { (a-c)^2 - b^2 + 2ac } {2ac} = \dfrac { (a-c)^2 - b^2} {2ac} +1$
$\therefore \quad 2ac = \dfrac {b^2 - (a-c)^2} {1- \cos B}$
$\therefore \quad S_{\triangle ABC} = \dfrac {\sin B} {4(1- \cos B)} [b^2-(a-c)^2]$

在以上公式中，除了 $(a-c)$ ，其它都是不变的已知量。所以，面积的大小取决于 $(a-c)$ 的值，也就是： $(a-c) \rightarrow S$

这是一个函数关系。若令 $t=a-c$ ，则函数解析式为：

$S = f(t) = \dfrac{\sin B} {4(1- \cos B)} [b^2-t^2]$

代入具体值并化简可得：

$S = f(t) = \dfrac{ \sqrt{2} } {4(2- \sqrt{2})} (4-t^2) \qquad (-2 \lt t \lt 2)$

当 $t=0$ 时，面积取最大值： $S_{max} = \sqrt{2}+1$

【提炼与提高】

以上，我们用“自问自答”的形式，步步为营，回答了这个问题：解题思路从哪里来？这种自问自答的方式具有通用性，可以用于解决类似的问题。读者不妨自己尝试。具体说来就是：把本题中的几个Q抄下来，遇到类似的问题，就用“自问自答”的方式找思路。

本题我们提供了两种解决思路。显然，思路一显得更简洁一些；思路二则略显复杂。但从锻炼思维的角度考虑，思路二也是大有益处的。尤其对于刚进入高中的学生来说，需要完成一个思维习惯的转变：看到一个公式，不要着急把具体的数值代入，也不要纠结于具体值是3还是2，而要思考这样的问题：这是变量还是不变量？是已知量还是未知量？如果是变量，它与哪些量存在关联？

本题的解答还有一个特色是：数形结合，先猜后证。从平面几何的角度，我们其实可以得出结论： $ac$ 两条边相等时，三角形面积达到最大值。用三角函数推导出的结论与平面几何完全一致。这样就可以放心大胆地作答了。假如用三角函数推导出的结论与平面几何不一致，就马上检查。

有很多学生在归结丢分原因时，都会遇到一个“顽疾”：粗心大意。其实，在考试状态下，人人都会犯错误。高手之所以能够避免错误，并不是因为他的推导从不出错，而是因为：他能够从多个角度看问题，用巧妙的方法进行验算。

高中数学之纲：依葫芦画瓢学习「函数思想」

2013年理科数学全国卷B 题17（本题满分12分）

相关文章

网友评论

延伸阅读

深度阅读

栏目导航

热点阅读

高中数学纲目