舒德尔不动点定理在积分方程和微分方程中的应用

作者: Obj_Arr | 来源:发表于2022-05-07 11:02 被阅读0次

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舒德尔不动点定理的特点是无穷维有界闭凸集和紧算子，无穷维的一个例子是连续函数空间，紧算子的一个例子是积分算子。

所以对于积分方程，可以利用这个定理证明解的存在性。积分方程 $u(x)=\lambda\int F(x,y,u(y))dx$ 可以被视为一个不动点问题 $u=Au$ ，当满足定理条件时，就存在一个解，不过，定理并没有给出唯一性，所以解的个数也是不确定的，但至少有一个解。

微分方程依然是通过转换为积分方程得到解决的。 $u^\prime =F(x,u),u(x_0)=u_0$ 转换为 $u=u_0+\int^{x}_{x_0} F(y,u(y))dy$ ，对于积分方程可以通过定理证明解的存在，相应的微分方程的解也就存在了。

相比于巴拿赫不动点定理，放松了对被积函数导数的要求。

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