高等代数理论基础60：矩阵的有理标准形

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-10 07:50 被阅读2次

矩阵的有理标准形

友矩阵

定义：对数域P上的一个多项式 $d(\lambda)=\lambda^n+a_1\lambda^{n-1}+\cdots+a_n$ ,矩阵 $A=\begin{pmatrix}0&0&\cdots&0&-a_n\\ 1&0&\cdots&0&-a_{n-1}\\ 0&1&\cdots&0&-a_{n-2}\\ \vdots&\vdots& &\vdots&\vdots\\ 0&0&\cdots&1&-a_1\end{pmatrix}$

称为 $d(\lambda)$ 的友矩阵

易证, $A(\lambda E-A)$ 的不变因子为 $\underbrace{1,1,\cdots,1}_{n-1个},d(\lambda)$

有理标准形矩阵

定义：准对角矩阵 $A=\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\& &\ddots\\& & &A_s\end{pmatrix}$

其中 $A_i$ 分别为数域P上某些多项式 $d_i(\lambda)(i=1,2,\cdots,s)$ 的友矩阵,且满足 $d_1(\lambda)|d_2(\lambda)|\cdots|d_s(\lambda)$ ,则称 $A$ 为P上的一个有理标准形矩阵

引理： $A=\begin{pmatrix}A_1\\&A_2\\& &\ddots\\& & &A_s\end{pmatrix}$ 的不变因子为 $1,1,\cdots,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)$ ,其中1的个数等于 $d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)$ 的次数之和n减去s

证明：

$\lambda E-A=\begin{pmatrix}\lambda E_1-A_1\\&\lambda E_2-A_2\\& &\ddots\\& & &\lambda E_s-A_s\end{pmatrix}$

$每个\lambda E_i-A_i的不变因子为1,\cdots,1,d_i(\lambda)$

$可用初等变换变成$

$\begin{pmatrix}1\\&1\\& &\ddots\\& & &d_i(\lambda)\end{pmatrix}$

$进而用初等变换将\lambda E-A变成$

$\begin{pmatrix}1\\&1\\& &\ddots\\& & &d_1(\lambda)\\& & & &1\\& & & & &1\\& & & & & &\ddots\\& & & & & & &d_2(\lambda)\\& & & & & & & &\ddots\\& & & & & & & & &1\\& & & & & & & & & &1\\& & & & & & & & & & &\ddots\\& & & & & & & & & & & &d_s(\lambda)\end{pmatrix}$

$再进行一些行或列变换可得$

$\begin{pmatrix}1\\&1\\& &\ddots\\& & &d_1(\lambda)\\& & & &d_2(\lambda)\\& & & & &\ddots\\& & & & & &d_s(\lambda)\end{pmatrix}$

$\because d_1(\lambda)|d_2(\lambda)|\cdots|d_s(\lambda)$

$是\lambda E-A的标准形$

$1,1,\cdots,1,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)是它的不变因子\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：数域P上 $n\times n$ 方阵A在P上相似于唯一的一个有理标准形,称为A的有理标准形

证明：

$设A(\lambda E-A)的不变因子为1,1,\cdots,d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)$

$其中d_1(\lambda),d_2(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)的次数\ge 1$

$且1的个数=d_1(\lambda),\cdots,d_s(\lambda)的次数之和减去s$

$设d_i(\lambda)的友矩阵是B_i$

$则作B=\begin{pmatrix}B_1\\&B_2\\& &\ddots\\& & &B_s\end{pmatrix}$

$B的不变因子与A的不变因子完全相同$

$\therefore B相似于A$

$即B是A的有理标准形$

$又B是由A的不变因子唯一决定$

$\therefore B由A唯一决定\qquad\mathcal{Q.E.D}$

定理：设 $\mathscr{A}$ 是数域P上n维线性空间的线性变换,则在V中存在一组基,使 $\mathscr{A}$ 在该组基下的矩阵是有理标准形,且由 $\mathscr{A}$ 唯一确定,称为 $\mathscr{A}$ 的有理标准形

例： $3\times 3$ 矩阵A的初等因子为 $(\lambda-1)^2$ , $\lambda-1$ ,则它的不变因子是, $1,\lambda-1,(\lambda-1)^2$ ,它的有理标准形为 $\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&-1\\0&1&2\end{pmatrix}$

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