定义：
向量：指一个同时具有大小(数值)和方向，且满足平行四边形法则的几何對象。一般地，同时满足具有大小和方向两个性质的几何对象即可认为是向量（电流不满足平行四边形法则，所以不是向量）。
简单的说，向量是有序的数字列表。向量中的每个元素（亦称为组件或坐标）是一个数字和所处位置，决定了第几维和值。
向量的方向和大小只要一样，那么他们就是同一个向量，不管起点在哪里。
那么向量值怎么确定的呢，以下图为例：
向量
以这个图为例，向量的值是怎么确定的呢，x向负方向移动了两个单位，所以第一位为-2，而y向正方向移动了3个单位，所以第二个数是3.那么这个向量就如图表示了。
向量的加法，乘法，减法
加法：第二个向量的头移动到第一个向量的尾巴上，然后第一个向量的头连接第二个向量的尾巴所指向的向量，就是加法的结果。
加法1
加法2
加法3
加法4
乘以数值：其实跟加法一样，一定数量的同一个向量头尾相接。基础的含义就是缩放向量。
乘法1
乘法2
**减法，可以理解为a与-b相加，或者理解为a和b的起点融合后，被减数指向减数。
减法
向量转置
一个转置的动态图
https://zh.wikipedia.org/wiki/File:Matrix_transpose.gif
定义
举例
向量大小
大小
向量方向
方向
向量运算法则
法则
单位向量-基向量
基向量
任何向量都能由基向量组合得出。
反向量
反向量
零向量
零向量
群
群(group)是两个元素作二元运算得到的一个新元素，需要满足群公理(group axioms)，即：
- 封闭性：a ∗ b is another element in the set
- 结合律：(a ∗ b) ∗ c = a ∗ (b ∗ c)
- 单位元：a ∗ e = a and e ∗ a = a
- 逆 元：加法的逆元为-a，乘法的逆元为倒数1/a，… (对于所有元素)
如整数集合，二次元运算为加法就是一个群(封闭性是显然的，加法满足结合律，单位元为0，逆元取相反数-a)。维基百科原文如下：
原群
原群(magma)是一种基本的代数结构，只要满足两元素作二元运算得到新元素仍属于该集合，即封闭性。
半群
半群(Semigroup)，满足结合律(associative property)的代数结构。V=<S，* >，其中二元运算是可结合的，即(ab)c=a(b*c)，则称V是半群。
幺半群
幺半群(monoid)在半群的基础上，还需要满足有一个单位元
阿贝尔群(交换群)
阿贝尔群(Abelian Group)在群的基础上，还需满足交换律。如整数集合和加法运算，(Z,+)，是一个阿贝尔群。
- 群公理：见2.4 群。
- 交换律：a + b = b + a
环
环(ring)在阿贝尔群(也叫交换群)的基础上，添加一种二元运算·(虽叫乘法，但不同于初等代数的乘法)。一个代数结构是环(R, +, ·)，需要满足环公理(ring axioms)，如(Z,+, ⋅)。环公理如下：
(1)(R, +)是交换群
- 封闭性：a + b is another element in the set
- 结合律：(a + b) + c = a + (b + c)
- 单位元：加法的单位元为0，a + 0 = a and 0 + a = a
- 逆 元：加法的逆元为-a，a + (−a) = (−a) + a = 0 (对于所有元素)
- 交换律：a + b = b + a
(2)(R, ·)是幺半群
- 结合律： (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c)
- 单位元：乘法的单位元为1，a ⋅ 1 = a and 1 ⋅ a = a
(3)乘法对加法满足分配律Multiplication distributes over addition
- a ⋅ (b + c) = (a ⋅ b) + (a ⋅ c) for all a, b, c in R (left distributivity)
- (b + c) ⋅ a = (b ⋅ a) + (c ⋅ a) for all a, b, c in R (right distributivity)
交换环
交换环(commutative ring)在环的基础上，二元运算乘法还满足交换律。
整环
整环(integral domain)在交换环的基础上，并满足没有零因子(如此，集合内任意两个元素乘积均不等于0)。
域
域(Field)在交换环的基础上，还增加了二元运算除法，要求元素(除零以外)可以作除法运算，即每个非零的元素都要有乘法逆元。由此可见，域是一种可以进行加减乘除(除0以外)的代数结构，是数域与四则运算的推广。整数集合，不存在乘法逆元(1/3不是整数)，所以整数集合不是域。有理数、实数、复数可以形成域，分别叫有理数域、实数域、复数域。
关系
关系图
向量空间
向量空间
张量，标量
张量
已知一对向量，用其线性组合所获取的所有可能向量的集合，称为这两个向量的张成空间。
张成空间
那么大多数二维向量对应的张成空间包含二维空间的所有向量。
标量
亦称“无向量”。有些物理量，只具有数值大小，而没有方向，部分有正负之分。这些量之间的运算遵循一般的代数法则，称做“标量”。如质量、密度、温度、功、能量、路程、速率、体积、时间、热量、电阻、功率、势能、引力势能、电势能等物理量。无论选取什么坐标系，标量的数值恒保持不变。矢量和标量的乘积仍为矢量。标量和标量的乘积仍为标量。矢量和矢量的乘积，可构成新的标量，也可构成新的矢量，构成标量的乘积叫标积；构成矢量的乘积叫矢积。如功、功率等的计算是采用两个矢量的标积。W=F·S，P=F·v。力矩、洛仑兹力等的计算是采用两个矢量的矢积。M=r×F，F=qvB。
线性组合
线性组合是一个线性代数中的概念，代表一些抽象的向量各自乘上一个标量后再相加。
S为一向量空间V的子集合。如果存在有限多个向量（v1,v2,...,vk）属于S，和对应的纯量（a1,a2,...,ak）属于F，使得v = a1v1+a2v2+...+akvk，则称v是S的线性组合。
规定：0向量是空集合的线性组合。
- 是一个V的子空间（所以包含0向量）
- 几何上是直的，没有弯曲（即，任两个span(S)上的点连线延伸，所经过的点必也在span(S)上）
线性相关
课程内的描述：无论什么时候，只要 你有多个向量，而且可以在不减少张成空间的情况下，删除其中一个向量，那就可以说这些向量是线性相关的。
具体的定义：
在向量空间V的一组向量A: a1,a2,a3....am，如果存在不全为零的数 k1, k2, ···,km , 使
公式
则称向量组A是线性相关的 ，否则数 k1, k2, ···,km全为0时，称它是线性无关。
由此定义看出 是否线性相关，就看是否存在一组不全为零的数 k1, k2, ···,km使得上式成立。
行列式
二阶三阶行列式
上面是行列式最基本的例子。
其实就是所有项，跟自己并非一行一类内的数进行相乘并相加减的操作，那么如何决定符号呢（加还是减？），行索引为i，列索引为j，满足1 ≤ i < j ≤ n但σ(i) > σ(j)的有序数对(i, j)称为σ的一个逆序。如果一个组合中，逆序为单数，则为减号，如果逆序为双数，则为+号。
举例
方程组求解（求解线性组合）
图解法
替代法
消元法
高中数学不再赘述
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