五.函数极限

一.函数极限的定义（记）

记函数极限存在的充要条件，左极限和右极限都存在且相等。

另外需记等式脱帽法：

二.函数极限的性质

唯一性，极限存在必唯一

局部有界性，在极限点某个范围内，函数会小于某个常数

局部保号线，在极限点某个范围内，函数会与极限符号一致。

三.极限运算法则

在两个函数极限值都存在的前提下，才能将一个函数拆开成这两个函数分别求极限。

四.夹逼准则

一个函数，如果有大于它的函数和小于它的函数且极限值都一样，那么这个函数极限也存在并拥有相同极限值。

五.洛必达法则

如果两个函数在求极限时，都趋于零（无穷大），且存在于去心邻域内存在，且在下面的那个函数导数不为0，并且上下在有限次求导后能得到极限值存在或无穷大，则可以用洛必达。

六.泰勒公式

重要泰勒公式：

型，需要把上下展开为同阶

需要记住型，展开为系数不相等的最低次幂

七.海涅定理（归结原则）

极限存在在，任何邻域内以此点为极限的数列也存在，反过来也成立。可以用于里纳西数列极限和函数极限，进行相互转化。

可以通过证明数列极限不存在来证明函数极限不存在。也可以通过计算函数极限，求数列极限。

八.无穷小比阶

0是特殊的无穷小常数，最高阶无穷小

如果两个函数相除等于1是等价无穷小，常数是同阶无穷小，0是高阶的无穷小，是低阶无穷小。差了k次，则称为k阶无穷小。

运算规则：有限个无穷小的和是无穷小，有界函数与无穷小的乘积是无穷小，有限个无穷小的乘积是无效小。加减法是低阶吸收高阶，乘法时结束累加，非常常数相乘不影响阶数。

另需记常见的等价无穷小。

九.函数的连续点

点邻域内有定义且极限存在与函数在此点连续是充要条件。

十.函数的间断点
第一类间断点：
可去间断点，此点极限与此点函数值不同。
跳跃间断点，左右极限都存在但不想等。

第二类间断点：
无穷间断点，此点极限为无穷。
震荡间断点，极限震荡不存在。