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极限证明之八股文—函数极限

极限证明之八股文—函数极限

作者: 解冒号 | 来源:发表于2019-10-03 20:17 被阅读0次

极限证明之八股文—函数极限

对于x\to x_0类型的极限证明，同样选用绝对值表示距离来刻画函数与极限值无限接近的关系。其证明关键的是要通过函数f(x)与极限值A 之间的绝对值小于任意小\epsilon解出|x-x_0|。

和极限证明八股文那篇文章一样，划线部分是需要修改的，其余部分几乎不用动。

例：证明函数极限\lim_{x \to 1}|2x+3|=5

证明：对于任意小的\epsilon>0,欲使得|f(x)-A|= \underline{|2x+3-5|=2|x-1|} <\epsilon成立，只需\underline{|x-1|<{\frac{\epsilon}{2}}}即可。故取\delta= \underline{\frac{\epsilon}{2}}.于是对于任意小的\epsilon>0，总存在\delta= \underline{\frac{\epsilon}{2}} ,当\underline{0<|x-1|<\delta}时，有|f(x)-A|<\epsilon恒成立，即该极限收敛。

需要注意的是：

  1. 解出来的要和|x-x_0|相关，不是x_0的没用，因为要说明趋势。
  2. 要解出|x-x_0|​还需要是小于某个变量的关系，要是弄出个大于是不行的，这时相当于趋向于无穷了；要解出在x_0的邻域才可以的。

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