高中数学（从函数极限到积分）

作者: 小杨洲 | 来源:发表于2022-03-13 12:00 被阅读0次

数学分析

极限与导数

1. 数列和函数极限

    数列极限定义。设{x<sub>n</sub>}为一个数列，若∃a为常数，对于∀ε>0，总有∃N∈N* ，使得当n>N时，不等式|x<sub>n</sub> - a|<ε成立，则a就是数列{x<sub>n</sub>}的极限（数列收敛于a）。数列极限记为lim<sub>n→∞</sub>x<sub>n</sub> = a，若不存在常数a说明该数列无极限或发散，表示lim<sub>n→∞</sub>x<sub>n</sub> 不存在。

    收敛极限得性质有唯一性（极限值），有界性（收敛则有界），保号性（数列x<sub>n</sub> ≤ y<sub>n</sub> ，则对应极限a ≤ b），四则运算（加减乘除），夹逼定理（x<sub>n</sub> ≤ z<sub>n</sub> ≤ y<sub>n</sub> ，则有lim<sub>n→∞</sub>z<sub>n</sub> = a），子数列收敛。

    六个**实数系连续性定理**相互等价。**确界存在定理**，集合A得所有上界中最大的上界为集合A的上确界（supA），集合A得所有上界中最小的下界为集合A的下确界（infA）。**单调有界定理**，∀n∈N*，有x<sub>n</sub> ≤ x<sub>n+1</sub>则{x<sub>n</sub>}是单调递增，小于则单调递减。**柯西收敛准则**，柯西数列是指对于∀ε>0，总有∃N∈N *，当n，m>N时，有|x<sub>n</sub> - x<sub>m</sub>|<ε成立。数列收敛的充要条件是符合柯西数列。**聚点原理**，R上任一有界无穷集至少有一个聚点，推论有界无穷数列必有收敛子列。闭区间套定理，| [a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub>] | 是一个闭区间列，此闭区间列满足 [a<sub>n+1</sub>, b<sub>n+1</sub>] ⊆ [a<sub>n</sub>, b<sub>n</sub>]和lim<sub>n→∞</sub>(b<sub>n</sub> - a<sub>n</sub>) = 0，则存在唯一实数c，有lim<sub>n→∞</sub>a<sub>n</sub> = lim<sub>n→∞</sub>b<sub>n</sub> = c。有限覆盖定理，A为闭区间，若U<sub>i</sub> O<sub>i</sub> 是集合A的一开覆盖，则一定存在U<sub>i</sub> O<sub>i</sub> 的一个子集构成集合A的一个有限开覆盖。

2. 函数

2.1. 函数极限

    设函数f(x)在U<sub>0</sub>(x0, δ)(δ>0)内有定义，单侧极限f(x)在去心左邻域或去心右邻域U<sub>0</sub><sup>-</sup>(x0, δ)或U<sub>0</sub><sup>+</sup>(x0, δ)有定义。

2.1.1. 极限定义

lim_x→x0f(x) = A ⇔ 若∀ε>0，∃δ > 0，当|x - x0| < δ时，满足|f(x) - A| < ε；
lim_x→x0-f(x)左极限 = A ⇔ 若∀ε>0，∃δ > 0，当0 < x0 - x < δ时，满足|f(x) - A| < ε；
lim_x→x0+f(x)右极限 = A ⇔ 若∀ε>0，∃δ > 0，当0 < x - x0 < δ时，满足|f(x) - A| < ε；
lim_x→∞f(x) = A ⇔ 若∀ε>0，∃X > 0，当|x| > X时，满足|f(x) - A| < ε；
lim_x→+∞f(x) = A ⇔ 若∀ε>0，∃X > 0，当x > X时，满足|f(x) - A| < ε；
lim_x→-∞f(x) = A ⇔ 若∀ε>0，∃X > 0，当x < -X时，满足|f(x) - A| < ε；

广义极限lim_x→x0±f(x) = ∞，lim_x→x0±f(x) = ±∞，lim_x→±∞f(x) = ∞。

  函数f(x)在x0点极限存在得充要条件是f(x)在点x0得左、右极限存在且相等，即lim<sub>x→x0-</sub>f(x) = lim<sub>x→x0+</sub>f(x) = A。此外，邻域U(x0, δ)，去心邻域U<sub>0</sub>(x0, δ)，去心右邻域U<sub>0</sub><sup>+</sup>(x0, δ)。f(x0)是否改变都不影响极限。

2.2.2. 函数极限的性质

    函数极限有四点性质：局部有界性、保号性（极限较大，则函数较大）、四则运算（加减乘除）、复合函数的极限。

    函数极限的三点判定：夹逼定理，柯西准则（设函数f(x)在U<sub>0</sub>(x0, δ)(δ>0)内有定义，lim<sub>x→x0</sub>f(x)存在的充要条件是∀ε>0，∃δ > 0，当x'，x''∈U<sub>0</sub>(x0, δ)时，满足|f(x') - f(x'')| < ε）、归结原理（lim<sub>x→x0</sub>f(x) = A存在的充要条件是对U<sub>0</sub>(x0, δ)中任一收敛于x0的数列{x<sub>n</sub>}都有lim<sub>x→x0</sub>f(x) = A）。

注：两个重要极限公式：lim_x→0sinx/x = 1，lim_x→∞(1+1/x)^x = e.

2.2.3. 无穷小（大）量

    lim<sub>x→x0</sub>f(x) = 0为无穷小量，lim<sub>x→x0</sub>f(x) = ∞为无穷大量。lim<sub>x→x0</sub>f(x)/g(x) = 0表示f(x)是g(x)的高阶无穷小量，lim<sub>x→x0</sub>f(x)/g(x) = C ≠ 0表示f(x)是g(x)的同阶无穷小量，lim<sub>x→x0</sub>f(x)/g(x) = 1表示f(x)是g(x)的等价无穷小量，记作f(x)~g(x)。常用等价无穷小量（x→0）如下：

sinx ~ x；tanx ~ x；arcsinx ~ x；arctanx ~ x；

ln(1+x) ~ x；e^x - 1 ~ x；1 - cosx ~ 1/2.x²；(1+x)^a - 1 ~ ax(a ≠ 0).

注：设f(x)，g(x)是x→x0的等价无穷小，则有如下运算:

lim_x→x0f(x)u(x)/v(x) = lim_x→x0[f(x)u(x)/v(x).g(x)/f(x)] = lim_x→x0g(x)u(x)/v(x)

2.2.4. 函数连续性

    函数f(x)在点x0处连续的充要条件是f(x)在该点同时左、右连续。其中，据左、右极限是否同时存在分第I、II间断点。第I类间断点，包含可去间断点（lim<sub>x→x0+</sub>f(x) = lim<sub>x→x0-</sub>f(x) ≠ f(x0)）和跳跃间断点（lim<sub>x→x0+</sub>f(x) ≠ lim<sub>x→x0-</sub>f(x)）。第II类间断点（该lim<sub>x→x0+</sub>f(x)、lim<sub>x→x0-</sub>f(x) 至少有一个不存在）。

    连续函数的四个性质：局部有界性、局部保号性、四则运算的连续性、复合函数的连续性。闭区间上连续函数的四个性质：有界性（[a, b]连续即有界）、最值定理（连续则有最大值、最小值）、介值定理（连续，μ∈(f(a), f(b))，则至少存在一点x0∈(a, b)，使得f(x0) = μ）、零点存在定理（连续且f(a)f(b) < 0，则至少存在一点x0∈(a, b)，使得f(x0) = 0）。

    **一致连续性（整体性概念）**。设f(x)是定义在区间I上的函数，若∀ε > 0，∃δ > 0，当x1，x2∈I 且|x1 - x2| < δ时，满足|f(x1) - f(x2)| < ε，则f(x)在I上一致连续。f(x)在I上一致连续的充要条件是对于任意两个序列|xn'|，|xn''| ⊂ I，若满足(1)lim<sub>x→∞</sub>(xn' - xn'') = 0，则(2)lim<sub>x→∞</sub>| f(x') - f(x'')| = 0。两条件同时满足才能证明一致连续性。函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，则f(x)在[a, b]上一致连续。

3. 习题

采用|x_n - a|<ε证明极限。证明：lim_n→∞ⁿ√n = 1。解：令ⁿ√n -1 = h_n，则n = (1+h_n )ⁿ = 1 + nh + n(n-1)/2.h_n² + ... + h_nⁿ > n(n-1)/2.h_n² (n>1)，取第二项或第三项都能作为比较)，据二项式比较有n > n(n-1)/2.h_n²，得 0 < h_n < √2/√(n-1)。对于对于∀ε>0，要使|ⁿ√n -1| = h_n < ε，只需令√2/√(n-1)<ε，即n > 2/ε² +1。因此，取N = [2/ε² +1]，则当n>N，就有|ⁿ√n -1| = h_n < ε，即lim_n→∞ⁿ√n = 1。

证明数列2，1/2，4/3，3/4，...，[n+(-1)^n-1 ]/n，...的极限是1。

有限值极限证明：lim_n→1(2x - 1) = 1。解：x在R都有定义。要证∃δ > 0，当|x - 1| < δ时，满足|f(x) - A| = |(2x-1) - 1| < ε。由于|f(x) - A| = |(2x-1) - 1| = 2|x - 1|。为使|f(x) - A| < ε，只要2|x - 1| < ε/2。所以，对∀ε>0，取δ = ε/2，则当x满足不等式0 < |x - 1| < δ时，则对应f(x)满足不等式|f(x) - A| = |(2x-1) - 1| < ε。从而极限证明成立。

无穷大极限证明：lim_n→∞(3x³ - 2x² + x)/(x³ + x - 2) = 3。解：x在0、1中无定义。对∀ε>0，要证∃X > 0，当|x| > X时，不等式| (3x³ - 2x² + x)/(x³ + x - 2) - 3 | < ε。化简后| (- 2 - 2/x + 6/ x²)/(x + 1 - 2/ x²) | ≤ | -2/ x+1| ≤ | 2/x| < ε，即|x| > 2/ε。因此，取X = 2/ε，那么当|x| > X = 2/ε时，不等式| (3x³ - 2x² + x)/(x³ + x - 2) - 3 | ≤ 3/ |x| < ε成立，则证明成立。

数列极限计算：（1）lim_x→0(1-cosx)/x^2；（2）lim_x→∞[(1+x)/ (1-x)]^1/x ；（3）lim_x→0(e^tanx - e^sinx )/(tanx - sinx).

下列选项中，使得函数f(x) = 1/x一致连续的x的取值范围是（C）。A.(0, 1) B.(0, 1] C.[-1, -1/3]∪[1/2, 1] D.[-∞, +∞] 解：因为f(x) = 1/x在闭区间.[-1, -1/3]∪[1/2, 1]上连续，所以该函数在此区间一致连续。而A，B，D三个区间不满足，当f(x)在A、B、D区间上有定义，取ε0 = 1，令xn' = 1/n，xn'' = 1/(n + 1)，则lim_x→∞(xn' - xn'') = 0，且lim_x→∞| f(x') - f(x'')| = 1 ≥ ε0，所以f(x)在(0, 1)、(0, 1]、[-∞, +∞] 。

微分与积分

1. 微分与微分中值定律

1.1. 一元函数微分学

    设函数f(x)在点x0的邻域U(x0, δ)(δ>0)内有定义，若lim<sub>x→x0</sub>(f(x) - f(x0))/(x - x0)或lim<sub>x→x0</sub>(f(x0 + Δx) - f(x0))/Δx存在，则称f(x0)处可导，记作f'(x0)。函数f(x)在点x0处的导数是y = f(x)在点(x0, f(x0))处的切线的斜率k。

    函数f(x)在x0处可导的充要条件是f<sub>-</sub>'(x0)与f<sub>+</sub>'(x0)存在且相等。

1.1.1. 基本初等函数

(c)' = 0; (x^a)' = a.x^a-1(a为常实数，幂函数);

(sinx)' = cosx; (cosx)' = -sinx;

(tanx)' = (1/cosx)² = sec²x; (cotx)' = -(1/sinx)² = -csc²x;

(secx)' = secxtanx; (cscx)' = -cscxcotx;

(log_ax)' = 1/(x.lna) (a > 0, a ≠ 0); (lnx)' = 1/x;

(a^x)' = a^x.lna (a > 0, a ≠ 0); (e^x)' = e^x;

(arcsinx)' = 1/√(1 - x²); (arccosx)' = -1/√(1 - x²);

(arctanx)' = 1/(1 + x²); (arccotx)' = -1/(1 + x²).

1.1.2. 求导法则

函数四则运算，[f(x) ± g(x)]' = f'(x) ± g'(x); [f(x).g(x)]' = f'(x).g(x) + f(x).g'(x); [ $\frac{f(x)}{g(x)}$ ]' = $\frac{f'(x).g(x) - f(x)g'(x)}{g^2(x)}$ (g(x) ≠ 0);复合函数链式法则运算，u(x) = g(x)，y = f(u)，且x0处都可导，则F(x) = f(g(x))的F’(x) = f'(u).g'(x)。反函数运算，区间I存在x = f^-1(y)及其导，反函数求导F' = (f^-1(y))' = 1/f'(x)。
含参函数求导，f'(x) = y'/x' = ψ'(t)/ φ'(t) = k。

1.1.3. 导数的应用

    单调性。设函数f(x)于区间I内可导，f(x)在I内单调递增 ⇔ f'(x) ≥ 0, ∀x∈I;f(x)在I内单调递减 ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀x∈I。

    极值。一是函数单调性定义判断极值点。二是导数判断极值点，当x∈U<sub>0</sub><sup>-</sup>(x0, δ)时f'(x) ≥ 0，当x∈U<sub>0</sub><sup>+</sup>(x0, δ)时f'(x) ≤ 0，则f(x)在x0处极大值；当x∈U<sub>0</sub><sup>-</sup>(x0, δ)时f'(x) ≤ 0，当x∈U<sub>0</sub><sup>+</sup>(x0, δ)时f'(x) ≥ 0，则f(x)在x0处取得极小值。三是高阶导数判定极值，设函数f(x)在x∈U<sub>0</sub>(x0, δ0)内n阶可导，且f<sup>k</sup>(x0) = 0(k = 1,2,3,...,n-1)，f<sup>(n)</sup>(x0) ≠ 0。n为奇数，x0无极值，n为偶数，f<sup>(n)</sup>(x0) < 0取得极大值，f<sup>(n)</sup>(x0) > 0取得极小值。特别地，n = 2，即f'(x0) = 0，f''(x0) < 0取得极大值，f''(x0) > 0取得极小值。

    凹凸性。凸函数图像任意两点之间曲线总在线段下方，凹函数图像任意两点之间曲线总在线段上方。设函数f(x)于区间I内二阶可导，f(x)在I内为凸函数 ⇔ f''(x) ≥ 0, ∀x∈I;f(x)在I内为凹函数 ⇔ f'(x) ≤ 0, ∀x∈I。

    拐点。拐点有两个充分条件，第一充分条件：设函数f(x)于邻域U<sub>0</sub>(x0, δ0)内二阶可导，f''(x)在x0<sup>+</sup>、x0<sup>-</sup>的符号相反，则x0为拐点（要考虑f''(x) = 0不存在点）；第二充分条件：设函数f(x)于邻域U<sub>0</sub>(x0, δ0)内三阶可导，若f''(x) = 0，且f'''(x0) ≠ 0，则x0为拐点。

    渐近线。水平渐近线，若lim<sub>x→-∞</sub>f(x) = a或lim<sub>x→+∞</sub>f(x) = a则y = a为水平渐近线；垂直渐近线，lim<sub>x→-∞</sub>f(x)或lim<sub>x→+∞</sub>f(x)至少一个是无穷大则x = c为垂直渐近线；若斜渐近线，若lim<sub>x→-∞</sub>f(x)/x = k存在且不等于0，lim<sub>x→-∞</sub>[f(x) - kx]存在则y = kx+b为斜渐近线。

1.1.4. 微分

    当Δx→0时，有**Δy = f(x0+Δx) - f(x0) = AΔx + o(Δx)**，而**Δy与AΔx仅近似**但不相等。函数在x0处的微分，记作微分**dy = df(x0) = AΔx**。

注: Δy与df(x)有区别，df(x) = AΔx，Δy还要+o(Δx)，需要考虑近似。2021年例题考到“x0可微时，Δy不同于dy和df(x)”。

    函数x0可微 ⇔ 函数x0可导，**A = f'(x0)**，微分df(x0) = AΔx = f'(x0)Δx (或dy = df(x0) = f'(x0)Δx = f'(x0)dx)。由x0可微或x0可导 ⇒ 连续，但是连续并不能推可微或可导。

    复合函数采用一阶微分的形式不变性或链式法则，先找出复合结构。[

复合图片]

    高阶导数，表示有f''(x) = d(f'(x))/dx = d<sup>2</sup>y/ dx<sup>2</sup> 及其它f<sup>(4)</sup>(x) = d<sup>4</sup>y/ dx<sup>4</sup>。高阶微分，表示有d<sup>2</sup>y = d(dy) = (f'(x)dx)'dx = f''(x)dx<sup>2</sup> 及其它d<sup>3</sup>y，……。莱布尼兹公式研究[f(x).g(x)]<sup>(n)</sup> = ∑...。

1.1.5. 微分中值定理

费马定理。设f(x)在邻域U(x0, δ0)(δ0>0)内有定义，若x0是f(x)的极值点，且f'(x0)存在，则f'(x0) = 0（驻点，极值点只能是驻点或不可导点）。
罗尔定理。设f(x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导，且f(a) = f(b)（平行于x轴的直线交点），则在(a, b)内至少存在一点c，由f'(c) = 0。
拉格朗日中值定理。设f(x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导，则在(a, b)至少存在一点ξ，有f'(ξ) = $\frac{f(b) - f(a)}{b - a}$ （平行于该点切线交点，斜率相同）。
柯西中值定理。设f(x)和g(x)在[a, b]上连续，(a, b)内可导，且g'(x) ≠ 0，则在(a, b)至少存在一点ξ，有 $\frac{f'(ξ)}{g'(ξ)}$ = $\frac{f(b) - f(a)}{g(b) - g(a)}$ 。

1.1.6. 微分中值定理的应用

    洛必达法则。（1）0/0型不定式。设f(x)和g(x)在x0邻域可导，**lim<sub>x→x0</sub>f'(x) = lim<sub>x→x0</sub>g'(x) = 0**，且lim<sub>x→x0</sub>f'(x)/ g'(x) = A（A为实数或±∞），则lim<sub>x→x0</sub>f(x)/ g(x) = lim<sub>x→x0</sub>f'(x)/ g'(x) = A。设f(x)和g(x)在U(∞)可导，……，……，则lim<sub>x→∞</sub>f(x)/ g(x) = lim<sub>x→∞</sub>f'(x)/ g'(x) = A。（2）∞/∞型不定式。设f(x)和g(x)在x0邻域可导，**lim<sub>x→x0</sub>f'(x) = lim<sub>x→x0</sub>g'(x) = ∞**，且lim<sub>x→x0</sub>f'(x)/ g'(x) = A（A为实数或±∞），则lim<sub>x→x0</sub>f(x)/ g(x) = lim<sub>x→x0</sub>f'(x)/ g'(x) = A。设f(x)和g(x)在U(∞)可导，……，……，则lim<sub>x→∞</sub>f(x)/ g(x) = lim<sub>x→∞</sub>f'(x)/ g'(x) = A。

    泰勒公式。

    点x0处的泰勒多项式加余项组成泰勒公式，其中R<sub>n</sub> = f(x) - P<sub>n</sub>(x)，泰勒公式为 f(x) = f(x0) + f'(x0)  (x - x0) +  f''(x0) /2! (x - x0)^2 + ... +  f<sup>(n)</sup>(x0) /n! (x - x0)<sup>n</sup> + R<sub>n</sub>(x)。（1）若函数f(x) = 在点x0处存在n（n ≥ 1）阶导数，则有带皮亚诺余项的泰勒公式R<sub>n</sub>(x) = o((x - x0)<sup>n</sup>) (x → x0)。（2）区间[a, b]内存在连续导函数，(a, b)上存在n+1阶导数，在定义域上的x，x0之间存在ξ，使得泰勒公式可带拉格朗日余项R<sub>n</sub>(x) = f<sup>(n+1)</sup>(ξ)/(n+1)! (x → x0)。

如代友皮亚诺余项的麦克劳林公式(x→0): e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + ... + x^n/n! + o(x^n) ;ln(1 + x) = x/1! - x^2/2! + ... + (-1)^(n-1).x^n/n + o(x^n);sinx = x - x^3/3! +x^5/5! - ... + (-1)^(n-1).x^(2n-1)/(2n-1)! + o(x^2n);cosx = x - x^3/3! +x^5/5! - ... + (-1)^(n-1).x^(2n-1)/(2n-1)! + o(x^2n);

2. 积分

2.1. 不定积分

    若F'(x) = f(x) (∀x∈I)则F(x)是f(x)的其中一个原函数，该原函数一定不唯一。f(x)的所有原函数为f(x)的不定积分，记作∫f(x)dx = F(x) + C。函数连续则一定存在原函数。不定积分性质如下：

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx; ∫kf(x)dx = k∫f(x)dx;（加减分加减，数乘可提出）

(∫f(x)dx)' = f(x);d(∫f(x)dx) = f(x)dx;∫df(x) = f(x) + C;（导数与微分运算的互逆性）

    常用公式：

∫x^μdx = x^μ+1/(μ+1), μ≠-1, x>0; ∫1/xdx = ln|x|+C, x≠0;

∫e^xdx = e^x+C; ∫a^xdx = a^x/lna + C, a≠0且a>0;

∫cosxdx = sinx+C; ∫sinxdx = -cosx+C;

∫sec²xdx = tanx+C; ∫csc²xdx = -cotx+C;

∫1/(1+x^2)dx = arctanx+C; ∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx+C.

    两类换元积分法：第一类换元。∫f(u)du = F(u)+C，u = φ(x)可微，则∫f(φ(x))φ'(x)dx = ∫f(φ(x))dφ(x) = F(φ(x)) + C，关键在于选择合适的φ(x)，把被积函数拆分成f(φ(x))φ'(x)的形式。第二类换元。设x = φ(x)可微，φ(x)存在反函数，则∫f(x)dx = ∫f(φ(t))φ'(t)dt = F(t) + C = F(φ<sup>-1</sup>(x))  + C。凡是遇到带根号√(a^2 - x^2 )、1/√(x^2 + a^2 )采用二类换元，遇到平方相加x/(1+x^2 )、1/(x^2 + a^2 )采用一类换元。

    分部积分法。设u(x)，v(x)具有连续导数，则有∫uv'dx = uv - ∫u'vdx。关键在于等式左边u、v'确定。（1）当函数含e<sup>ax</sup>sinax、e<sup>ax</sup>cosbx进行两次分部积分，e<sup>ax</sup>两次定为v'(x)，或两次定为u(x)。（2）当不符合上一情况单独含有Pn(x)e<sup>ax</sup>、Pn(x)sinax、Pn(x)cosbx，Pn为n次多项式，对Pn定为u进行多次分部积分以降次。（3）函数含有Pn（n次多项式），Pn(x)lnx、Pn(x)arcsinx、Pn(x)arccosx、Pn(x)arctanx，取lnx、arcsinx、arccosx、arctanx为v'(x)以更容易分部后求导。

2.2. 定积分

2.2.1. 定积分性质

    f(x)于[a, b]上有定义，将该区间划分为小区间Δx1(x1-x0)、Δx2、Δx3、...、Δxn，记λ=max{Δx1, Δx2, Δx3, ..., Δxn}。各小区间任取点ξ<sub>i</sub>，加和得∑<sub>i=1</sub><sup>n</sup>f(ξ<sub>i</sub>).Δx。当λ→0时该和式有极限I，则称f(x)于定义域黎曼可积，记作I = ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x).dx。

    定积分几何，函数定义上连续，f(x)≥0时 ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x).dx表示所围面积，f(x)≤0时∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x).dx表示面积的负数。f(x)于[a, b]可积⇒f(x)于[a, b]有界。f(x)于[a, b]连续⇒f(x)可积（区别于可微可导），f(x)于[a, b]有界且间断点有限⇒f(x)可积，f(x)于[a, b]单调⇒f(x)可积。

注：f(x)连续⇏f(x)可导、可微，f(x)连续⇒f(x)一致连续、有最值、可积。

    定积分的性质（f(x)，g(x)在[a, b]上可积）。∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x).dx=-∫<sub>b</sub><sup>a</sup>f(x).dx; ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>[f(x)±g(x)]dx =  ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx ± ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>g(x)dx; ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>kf(x)dx = k∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx;  ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx + ∫<sub>b</sub><sup>c</sup>f(x)dx = ∫<sub>a</sub><sup>c</sup>f(x)dx; （定积分可积反向为负数，加减分加减，数乘可提出，积分区间合并可加）

    设f(x)于[-a, a]上可积，若f(x)为偶函数则∫<sub>-a</sub><sup>a</sup>f(x).dx=2∫<sub>0</sub><sup>a</sup>f(x)dx，若为奇函数则∫<sub>-a</sub><sup>a</sup>f(x).dx=0。对∀x∈[a, b]，有f(x) ≥ 0则 ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx ≥ 0。定积分中值定理，函数[a, b]连续，至少存在一点ξ∈[a, b]，有 ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx = f(ξ)(b-a)。

2.2.2. 变限积分

    变上限积分定理。设f(x)于[a, b]上可积，f(x)的变上限积分是F(x) =  ∫<sub>a</sub><sup>x</sup>f(t)dt，x∈[a, b]。存在该上限积分⇒F(x)于[a, b]上连续；存在该上限积分且f(x)于[a, b]上连续⇒F(x)在[a, b]上可导且F'(x) = f(x)。

    例题（2017）已知f(x)于[a, b]上连续，设F(x) =  ∫<sub>a</sub><sup>x</sup>f(t)dt，x∈[a, b]。证明：（1）F(x)于[a, b]上连续；（2）F(x)在[a, b]上可导，且F'(x) = f(x)。

    解：（1）因f(x)在定义[a, b]内连续，所以f(x)在[a, b]有界，即∃M>0，∀t∈[a, b]，有| f(t) | ≤ M。任取x0∈[a, b]，当x∈[a, b]时，有| F(x)-F(x0) | = | ∫<sub>a</sub><sup>x</sup>f(t)dt - ∫<sub>a</sub><sup>x0</sup>f(t)dt | = | ∫<sub>x0</sub><sup>x</sup>f(t)dt | ≤   ∫<sub>x0</sub><sup>x</sup>| f(t) |dt  ≤ M| x - x0 |。因此∀ε>0，取δ=ε/M，当| x - x0 |<δ时| F(x)-F(x0) |<ε，即证得F(x)在[a, b]上连续。

    解：（2）任取x0∈(a, b)，由于f(x)在定义[a, b]内连续，所以∀ε>0，∃δ>0，当| t - x0 |<δ(t∈[a, b])，有| f(t)-f(x0) |<ε。因此，当| x - x0 |<δ(x∈[a, b])，有|$$\frac{F(x)-F(x0)}{x-x0}$$-f(x0)| = |$$\frac{∫a→xf(t)dt-∫a→x0f(t)dt}{x-x0}$$-$$\frac{∫x0→xf(x0)dt}{x-x0}$$| = | $$\frac{∫x0→xf(t)-f(x0)dt}{x-x0}$$ | ≤ | $$\frac{∫x0→x|f(t)-f(x0)|dt}{x-x0}$$ | < ε| x-x0 |/ | x-x0 | = ε，即证得F(x)在[a, b]上可导，且F'(x) = f(x)。

2.2.3. 微积分基本定律（牛顿-莱布尼兹公式）

    设函数f(x)在定义[a, b]内连续，F(x)是f(x)的一个原函数，则∫<sub>a</sub><sup>b</sup>f(x)dx = F(x)|<sub>a</sub><sup>b</sup> = F(b) - F(a)。

    此外，定积分计算还包括换元积分法和分部积分法。定积分分部积分法由不定积分和莱布尼兹公式得到设u(x)，v(x)在[a, b]上可导，u'(x)，v'(x)在[a, b]上可积，则有∫<sub>a</sub><sup>b</sup>uv'dx = (uv)|<sub>a</sub><sup>b</sup> - ∫<sub>a</sub><sup>b</sup>u'vdx，u、v'确定与不定积分类似。例题见下。

2.2.4. 定积分的应用

平面图形面积：S = ∫_a^b[f₂(x) - f₁(x)]dx，例求抛物线y1 = x^2 与y2 = 2-x^2 的、所围的平面图形的面积。解：两线y2在y1上交于(-1, 1)、(1, 1)两交点，所以x方向积分有S = ∫_-1¹[2-x^2 - x^2 ]dx = (2x - 2/3.x^3)|_-1¹ = 8/3。

平行截面面积求体积：Ω是一个三维几何体，在x∈[a, b]处作垂直于x轴的平面，该截平面三角面积或矩形面积是关于x的函数，可以表示出A(x)，则x轴向立体体积V = ∫_a^bA(x)dx，例1，求由两个圆柱面x² + y² = a² 与z² + x² = a²所围立体的体积。解：确定两体积1/8的所围部分，而垂直x轴向截平面是一个边长z = y = √(a² - x²)的正方形，A(x) = a² - x²，x∈[0, a]，则V = 8 ∫₀^aA(x)dx = 8 ∫₀^a( a² - x²)dx = 16/3. a³。例2如下。

旋转体体积：Ω是由平面图形0 ≤ |y| ≤ |f(x)|，x∈[a, b]，以绕x轴旋转为例，则Ω的截面面积函数为A(x) = Π[f(x)]²，x∈[a, b]，所以旋转体Ω的体积为V = Π ∫_a^b[f(x)]²dx。例1，试用上述公式导出圆锥体的体积公式。解：设圆锥体高为h，底面圆半径为r(即y)，画图可知该x轴旋转体是由底半径0 ≤ | y | ≤ x.r/h，x∈[0, h]，高为dx的近似扁圆柱体的体积V = Π ∫₀^h[x.r/h]²dx = 1/3.Πr².h。

3. 习题

在利用导数定义证明(lnx)' = 1/x的过程中用到的极限是（）。解：据导数定义，(lnx)' = lim_Δx→0 $\frac{ln(x + Δx) - lnx}{Δx}$ = lim_Δx→0 $\frac{1}{Δx}$ .ln(1 + $\frac{Δx}{x}$ )，令t = $\frac{x}{Δx}$ ，则lim_t→∞ t/x.ln(1 + 1/t) = 1/x.lim_t→∞ ln(1 + 1/t)^t = 1/x.lne = 1/x.故所用到的极限是lim_x→∞(1+1/x)^x = e。

求下列几个函数的导数：（1）f(x) = x^x ，解：对f(x)两边取对数得 lnf(x) = x.lnx，两边求导有[lnf(x)]' = f'(x)/f(x) = (x)'lnx + x.(lnx)' = lnx + 1，所以f'(x) = f(x)(1+lnx) = x^x.(1 + lnx)；（2）y = arctanx，解：该函数的反函数为x = tany，所以y' = 1/tan'y = 1/sec²y = 1/(1+tan²y) = 1/(1+x^2)。（3）设y = x² e^x，求y⁽ⁿ⁾ ，解：令f(x) = x² ，g(x) = e^x ，则由莱布尼兹公式知，y⁽ⁿ⁾ = ∑_k=0ⁿ C_n^kf^(n-k) (x) g^k(x) = ∑_k=0ⁿ C_n^kf^(n-k) (x) e^x = (x^2 + 2nx + n^2 - n).e^x 。

求下列几个函数的微分：（1）y = e^sin(ax+b) ，解：采用一阶微分的形式不变性，有dy = $\frac{f'(u)}{f'(v)}\frac{f'(v)}{f'(x)}$ = [e^sin(ax+b)]' = e^sin(ax+b) .d[sin(ax+b)] = e^sin(ax+b) .cos(ax+b).d(ax+b) = ae^sin(ax+b) .cos(ax+b)dx 。

求下列极限：（1）lim_x→∞ $\frac{e^x - (1 + 2x)^(1/2)}{ln(1 + x^2)}$ ；（2）lim_x→∞(x + √(1 + x^2)^1/lnx。Page50.

利用第一类换元积分法求下列不定积分：（1）∫x/(1+x^2 )dx；（2）∫1/(x^2 + a^2 )dx；（3）∫secxdx。利用第一类换元积分法求下列不定积分：（1）∫√(a^2- x^2 )dx（提示令x = asint(-Π/2<t<Π/2)）；（2）∫1/√(x^2 + a^2 )dx（提示令x = atant(-Π/2<t<Π/2)）。利用第一类换元积分法求下列不定积分：（1）∫e^2xsinxdx；（2）∫x^2. sinxdx；（3）∫arctanxdx。Page56.

计算下列定积分：（1）∫₀²√(2x-x^2 )dx；（2）∫₀¹x^n dx；（3）∫₀¹e^x dx；（4）∫₀¹sinxdx。

利用换元积分法求下列不定积分：（1）∫₁^{e^ 2}1/ x√(1+lnx)dx；（2）∫₁⁴1/ (1+√x)dx (令x=t^2 )；（3）∫₁² √(4-x^2 )dx (令x=2sint)。

利用分部积分法求下列不定积分：（1）∫₁²x.lnxdx；（2）∫_-a^ab.√(1-(x/a)² )dx (a>0,b>0)。

级数（单选）

1. 数项级数

    给定一个无穷数列{u<sub>n</sub>}，把各项相加后得到数项级数，记作∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub>。级数前n项部分和∑<sub>k=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>k</sub> = S<sub>n</sub>。S<sub>n</sub>收敛，则∑<sub>n→∞</sub><sup>∞</sup> S<sub>n</sub>存在，级数∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub>收敛，表示为∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub> = lim<sub>n→∞</sub><sup>∞</sup> S<sub>n</sub>。(∑<sub>k=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>k</sub>或S<sub>n</sub>是∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub>的部分)。∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub>收敛，则S<sub>n</sub>、S<sub>n-1</sub>收敛到同一极限值， lim<sub>n→∞</sub><sup>∞</sup> S<sub>n</sub>- lim<sub>n→∞</sub><sup>∞</sup> S<sub>n-1</sub> = 0。

    两种常用级数。一是几何级数∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> q<sup>n</sup>，当| q | < 1时收敛，当| q | ≥ 1时发散。二是p级数（p=1为调和级数）∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> 1/n<sup>p</sup>，当p > 1时收敛，当q ≤ 1发散。

    收敛。∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> |u<sub>n</sub>| 收敛为绝对收敛，∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> u<sub>n</sub> 收敛且∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup> |u<sub>n</sub>| 发散为条件收敛。绝对收敛的级数⇒一定收敛。正项级数（u<sub>n</sub> ≥ 0）收敛⇔它的**部分和数列S<sub>n</sub>有界**。正项级数有以下几种方法：

（1）比较判别法：∑_n=1^∞ u_n、∑_n=1^∞ v_n为正项级数（c为正数），有cv_n ≥ u_n，则有∑_n=1^∞ v_n 收敛⇒∑_n=1^∞ u_n收敛（大于等于符号箭头指向即为必要条件），∑_n=1^∞ u_n 发散⇒∑_n=1^∞ v_n发散。例1，设级数∑_n=1^∞ (-1)ⁿ.a_n.2ⁿ 收敛，则级数∑_n=1^∞a_n（A.绝对收敛）。解，由级数∑_n=1^∞ (-1)ⁿ.a_n.2ⁿ 收敛可知lim_n→∞n(-1)ⁿ.a_n.2ⁿ = 0，∃N∈N* ，使得∀n > N，有| (-1)ⁿ.a_n.2ⁿ | < 1，| a_n | < 1/ 2ⁿ成立。因为∑_n=1^∞1/ 2ⁿ收敛，所以∑_n=1^∞| a_n |收敛且绝对收敛。
（2）极限的比较判别法：lim_n→∞[∑_n=1^∞ u_n/ ∑_n=1^∞ v_n] = A，若A∈(0, +∞)时∑_n=1^∞ u_n和∑_n=1^∞ v_n有相同敛散性（类似上一个的正数c），若A = 0则分数中上收即下收，若A = ∞则下散即上散。例2，判断∑_n=1^∞ 1/ (n^1+1/n)的敛散性。解，因为lim_n→∞[∑_n=1^∞ 1/ (n^1+1/n)/ ∑_n=1^∞ 1/ n] = lim_n→∞[∑_n=1^∞ 1/ (n^-1/n) ]= lim_n→∞∑_n=1^∞ 1/ ⁿ√n = 1，则据比较判别法的极限形式，判断出两级数敛散性相同，又因调和级数∑_n=1^∞ 1/ n是发散，所以级数∑_n=1^∞ 1/ (n^1+1/n)发散。
（3）比值判别法（单项不连加）：若lim_n→∞[u_n+1/ u_n] = ρ，当ρ<1则∑_n=1^∞ u_n收敛，当ρ=1则无法判别，当ρ>1则发散。
（4）根值判别法（单项不连加）：lim_n→∞ⁿ√n = ρ，当ρ<1则∑_n=1^∞ u_n收敛，当ρ=1则无法判别，当ρ>1则发散。
改变数项级数有限项值不改变其敛散性；数乘λ后敛散性不变，相同敛散性级数相加也不变；在不改变次序对级数各项任意加括号后连加，敛散性不变；(-1)ⁿ 1的交错级数中，若{u_n}单调且lim_n→∞u_n = 0则该交错级数收敛。

2. 函数级数

    定义在I上，函数列{f<sub>n</sub>(x)}的部分函数项{u<sub>n</sub>(x)}，函数项级数为∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>u<sub>n</sub>(x)。函数项级数所有收敛点构成的数集D∈I，称为函数项级数的收敛域。∃N∈N* ，当n > N* ，对于∀x∈I，有| f<sub>n</sub>(x) - f(x) | < ε，则函数列{f<sub>n</sub>(x)}在I上一致收敛于f(x)。

2.1. 幂级数

    幂级数是形如∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>a<sub>n</sub>(x-x0)<sup>n</sup>的函数项级数（a0，an都是常数）。∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>a<sub>n</sub>(x-x0)<sup>n</sup>在x=a处收敛，则对∀x∈{x | |x-x0| < |a-x0|}，幂级数绝对收敛（大于符号箭头指向收敛）；x=a发散，则对∀x∈{x | |x-x0| > |a-x0|}，幂级数发散。（a为收敛数，a不等于x0）

    幂级数收敛半径计算。第一步，使用比值法（根值法）求出收敛半径，确定(x-x0)<sup>n</sup>中的x0为收敛中心；第二步，若比值R∈(0, +∞)则讨论x = x0 ± R两端点处的敛散性；第三步，写出敛散域。例1，求幂级数∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>(x)<sup>n</sup>/√n的收敛域。例2，求幂级数∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>(x)<sup>n</sup>/ (n.2^n )的收敛域。

2.2. 泰勒级数

    若f(x)在x0有任意阶导数，则称∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>$$\frac{1}{n!}$$.f<sup>(n)</sup>(x0)(x - x0)<sup>n</sup>  为f(x)在点x0处的泰勒级数。若泰勒级数等于原函数f(x)，表示该泰勒展开式收敛于f(x)。特别地，x0 = 0时泰勒式称为麦克劳林级数和展开式。常用初等函数的麦克劳林展开式如下：

e^x = ∑_n=1^∞ $\frac{1}{n!}$ xⁿ = 1 + x + x² / 2! + ... + xⁿ / n! + ...，x∈(-∞, +∞);

sinx = ∑_n=1^∞ $\frac{(-1)^n }{(2n+1)!}$ x²ⁿ⁺¹ = x - x³ / 3! + ... + $\frac{(-1)^n }{(2n+1)!}$ .x²ⁿ⁺¹ + ...;

cosx = ∑_n=1^∞ $\frac{(-1)^n }{(2n)!}$ x²ⁿ = 1 - x² / 2! + ... + $\frac{(-1)^n }{(2n)!}$ .x²ⁿ + ...;

ln(x+1) = ∑_n=1^∞ $\frac{(-1)^(n-1) }{n}$ xⁿ = x - x² / 2! + x³ / 3! + ... + $\frac{(-1)^(n-1) }{n}$ xⁿ+ ...;

(1+x)^-1 = 1/(1+x) = ∑_n=0^∞(-1)ⁿ.xⁿ ，x∈(-1,1).

    例题，已知f(x) = ∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>(-1)<sup>n-1</sup>$$\frac{1}{(2n-1)!}$$(Πx)<sup>2n-1</sup> ，则f(1) = (B.0)。解：因sinx = ∑<sub>n=1</sub><sup>∞</sup>$$\frac{(-1)^n }{(2n+1)!}$$x<sup>2n+1</sup> = x - x<sup>3</sup> / 3! + ... +  $$\frac{(-1)^n }{(2n+1)!}$$.x<sup>2n+1</sup> + ...，此题的级数为n-1，所以由级数中x为“Πx”，则f(1) = sinΠ = 0。

多元函数微分学

1. 二元函数

    二重极限。设f(x, y)或f(P)是定义在非空点集D∈R<sup>2</sup>上的二元函数，P0(x0,y0)是D上聚点P0的邻域。若∀ε<0，∃δ>0，当| P-P0 | < δ时，有| f(P) - A | < ε，则记作lim<sub>P→P0</sub>f(P) = A或 lim<sub>x→x0,y→y0</sub>f(x, y) = A。注：P(x,y)沿任意定曲线趋近P0(x0,y0)时f(P)=A都满足，才能说明lim<sub>x→x0,y→y0</sub>f(x, y)二重极限存在。若f(P)趋于不同值Ai则二重极限不存在。

    二元偏导。通过计算学习例题，设f(x, y) = ln(x<sup>2</sup> + 2y)，求f'<sub>x</sub>(x, y)，f'<sub>y</sub>(x, y)。解：根据一元函数的链式法则，f'<sub>x</sub>(x, y) = $$\frac{1}{x^2 + 2y}.\frac{∂(x^2 + 2y)}{∂x}$$ = $$\frac{2x}{x^2 + 2y}$$，f'<sub>y</sub>(x, y) = $$\frac{1}{x^2 + 2y}.\frac{∂(x^2 + 2y)}{∂y}$$ = $$\frac{2}{x^2 + 2y}$$。

    偏导数的应用。

设z = f(x,y)在点(x0,y0)处有偏导数且在点(x0,y0)处取得极值，则其必要条件为f'_x(x0, y0) = f'_y(x0, y0)。
设z = f(x,y)在邻域内具有连续一阶及二阶偏导数，满足点(x0, y0)是驻点，P邻域有一阶及二阶偏导数。令f''_xx(x0, y0) = A， f''_xy(x0, y0) = B，f''_xx(x0, y0) = C，则f(x, y)在(x0, y0)处是否取得的条件，AC - B² > 0时取得极值且当A>0有极大A<0取得极小，< 0时不取得极值，=0时无法判断。例题，f(x, y) = (x-1)² -2y² ，则点(1, 0)是f(x, y)的（A.非极值点）。
曲线的切线与法平面，F(x,y,z)偏导三角循环顺序x→y→z→x。例题，求曲线l:{x² + y² + z² = 6，x + y + z = 0。在点(1,-2,1)处的切线和法平面方程。解：令F(x,y,z) = x² + y² + z² - 6，G(x,y,z) = x + y + z，则 $\frac{∂F}{∂x}$ = 2x， $\frac{∂F}{∂y}$ = 2y， $\frac{∂F}{∂z}$ = 2z， $\frac{∂F}{∂x}$ = $\frac{∂F}{∂y}$ = $\frac{∂F}{∂z}$ = 1。于是 $\frac{∂(F,G)}{∂(y,z)}$ = 行列式 $\frac{∂F/∂y..∂F/∂z}{∂G/∂y..∂G/∂z}$ = -6， $\frac{∂(F,G)}{∂(z,x)}$ = 行列式 $\frac{∂F/∂z..∂F/∂x}{∂G/∂z..∂G/∂x}$ = 0， $\frac{∂(F,G)}{∂(x,y)}$ = 行列式 $\frac{∂F/∂x..∂F/∂y}{∂G/∂x..∂G/∂y}$ = 6。因此，对于切线方程为 $\frac{x-1}{-6}=\frac{y+2}{0}=\frac{z-1}{6}$ ，法平面方程为-6(x-1) + 0(y+2) + 6(x-1) = 0即z - x = 0。
曲面的切平面与法线，偏导三角循环顺序x→y→z→x。例题，设曲面方程为x² + y² + z² = 9，求它在点(1,2,2)处的切平面方程。解：令F(x,y,z) = x² + y² + z² - 9，则F'_x(x,y,z) = 2x，F'_y(x,y,z) = 2y，F'_z(x,y,z) = 2z，从而F'_x(1,2,2) = 2，F'_y(1,2,2) = 4，F'_z(1,2,2) = 4。因此，球面此点的切平面方程为2(x-1) + 4(y-2) + 4(z-2) = 0，整理得x + 2y + 2z - 9 = 0，对应法线方程为(x-1)/2 + (y-2)/4 + (z-2)/4 = 0即(x-1)/1 + (y-2)/2 + (z-2)/2 = 0。