高等代数理论基础36：正定二次型

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-02-02 10:04 被阅读28次

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正定二次型

二次型正定

定义：给定实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ,若对任意一组不全为零的实数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 都有 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\gt 0$ ,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是正定的

例：二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=x_1^2+x_2^2+\cdots+x_n^2$ 是正定的

注：

1.实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=d_1x_1^2+d_2x_2^2+\cdots+d_nx_n^2$ 是正定的 $\Leftrightarrow d_i\gt 0,i=1,2,\cdots,n$

2.设实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j,a_{ij}=a_{ji}$ 是正定的,经过非退化线性替换 $X=CY$ 变成二次型 $g(y_1,y_2,\cdots,y_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^nb_{ij}y_iy_j,b_{ij}=b_{ji}$ ,则 $g(y_1,y_2,\cdots,y_n)$ 也是正定的

即对任意一组不全为零的实数 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ ,有 $g(k_1,k_2,\cdots,k_n)\gt 0$

令 $y_1=k_1,y_2=k_2,\cdots,y_n=k_n$ ,可得 $x_1,x_2,\cdots,x_n$ 对应的一组值,设为 $c_1,c_2,\cdots,c_n$

即 $\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}=C\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}$

C可逆,因而 $\begin{pmatrix}k_1\\k_2\\\vdots\\k_n\end{pmatrix}=C^{-1}\begin{pmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{pmatrix}$

故当 $k_1,k_2,\cdots,k_n$ 不全为零时, $c_1,c_2,\cdots,c_n$ 也不全为零

显然 $g(k_1,k_2,\cdots,k_n)=f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\gt 0$

3.非退化线性替换保持正定性不变

定理

定理：n元实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是正定的 $\Leftrightarrow$ 它的正惯性指数等于n

证明：

$设二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)经过非退化线性替换变成标准形$

$d_1y_1^2+d_2y_2^2+\cdots+d_ny_n^2$

$则f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正定\Leftrightarrow标准形正定$

$标准形正定\Leftrightarrow d_i\gt 0,i=1,2,\cdots,n$

$即正惯性指数为n\qquad\mathcal{Q.E.D}$

注：正定二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 的规范形为 $y_1^2+y_2^2+\cdots+y_n^2$

矩阵正定

定义：对实对称矩阵A,若二次型 $X'AX$ 正定,则称A正定

注：一个实对称矩阵是正定的 $\Leftrightarrow$ 它与单位矩阵合同

推论：正定矩阵的行列式大于零

证明：

$设A为一正定矩阵$

$\because A与单位矩阵合同$

$\therefore 有可逆矩阵C,使得$

$A=C'EC=C'C$

$两边取行列式可得$

$|A|=|C'||C|=|C|^2\gt 0\qquad\mathcal{Q.E.D}$

顺序主子式

定义：子式 $H_i=\begin{vmatrix}a_{11}&a_{12}&\cdots&a_{1i}\\ a_{21}&a_{22}&\cdots&a_{2i}\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ a_{i1}&a_{i2}&\cdots&a_{ii}\end{vmatrix}$

$i=1,2,\cdots,n$ 称为矩阵 $A=(a_{ij})_{nn}$ 的顺序主子式

定理：实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 正定 $\Leftrightarrow$ 矩阵A的顺序主子式全大于零

证明：

$必要性$

$设二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_ix_j正定$

$\forall k,1\le k\le n$

$令f_k(x_1,x_2,\cdots,x_k)=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^ka_{ij}x_ix_j$

$下证f_k为k元正定二次型$

$对任一组不全为零的实数c_1,c_2,\cdots,c_k$

$f_k(c_1,\cdots,c_k)=\sum\limits_{i=1}^k\sum\limits_{j=1}^ka_{ij}c_ic_j$

$=f(c_1,\cdots,c_k,0,\cdots,0)\gt 0$

$\therefore f_k(x_1,\cdots,x_k)正定$

$\therefore f_k的矩阵行列式$

$\begin{vmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1k}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{k1}&\cdots&a_{kk}\end{vmatrix}\gt 0,k=1,2,\cdots,n$

$即A的顺序主子式全大于零$

$充分性$

$n=1时,f(x_1)=a_{11}x_1^2$

$由条件a_{11}\gt 0,显然f(x_1)正定$

$假设对n-1元二次型结论成立$

$下证n元二次型结论成立$

$令A_1=\begin{pmatrix}a_{11}&\cdots&a_{1,n-1}\\ \vdots& &\vdots\\ a_{n-1,1}&\cdots&a_{n-1,n-1}\end{pmatrix}$

$\alpha=\begin{pmatrix}a_{1n}\\\vdots\\a_{n-1,n}\end{pmatrix}$

$则A=\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}$

$A的顺序主子式全大于零$

$则A_1的顺序主子式也全大于零$

$由归纳假设$

$A_1为正定矩阵$

$即有可逆n-1级矩阵G使$

$G'A_1G=E_{n-1}$

$令C_1=\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}$

$则C_1'AC_1=\begin{pmatrix}G'&O\\O&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}A_1&\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}G'A_1&G'\alpha\\\alpha'&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}G&O\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\\alpha'G&a_{nn}\end{pmatrix}$

$令C_2=\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$则C_2'C_1'AC_1C_2=\begin{pmatrix}E_{n-1}&O\\-\alpha' G&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\\alpha'G&a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&G'\alpha\\O&-\alpha' GG'\alpha+a_{nn}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}E_{n-1}&-G'\alpha\\O&1\end{pmatrix}$

$=\begin{pmatrix}E_{n-1}&O\\O&a_{nn}-\alpha'GG'\alpha\end{pmatrix}$

$令C=C_1C_2,a_{nn}-\alpha'GG'\alpha=a$

$则C'AC=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &a\end{pmatrix}$

$两边取行列式$

$|C|^2|A|=a$

$\because |A|\gt 0$

$\therefore a\gt 0$

$\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &a\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &\sqrt{a}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1\\ &\ddots\\ & &1\\ & & &\sqrt{a}\end{pmatrix}$

$即矩阵A与单位矩阵合同$

$\therefore A为正定矩阵$

$即二次型f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正定\qquad\mathcal{Q.E.D}$

负定

定义：设实二次型 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ ,对任一组不全为零的实数 $c_1,c_2,\cdots,c_n$ ,若 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\lt 0$ ,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 负定,若 $f(c_1,c_2,\cdots,c_n)\ge 0$ ,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 半正定,若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)\le 0$ ,则称 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 半负定,若 $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 既不是半正定,又不是半负定,则称为不定的

注： $f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 是负定时, $-f(x_1,x_2,\cdots,x_n)$ 为正定的

定理：对实二次型 $f(x_1,\cdots,x_n)=X'AX$ ,其中A为实对称的,则

$(1)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)半正定$

$\Leftrightarrow(2)f(x_1,x_2,\cdots,x_n)正惯性指数与秩相等$

$\Leftrightarrow(3)有可逆矩阵C使得$

$C'AC=\begin{pmatrix}d_1\\ &d_1\\ & &\ddots\\ & & &d_n\end{pmatrix}$

$其中d_i\ge 0,i=1,2,\cdots,n$

$\Leftrightarrow (4)有实矩阵C使A=C'C$

$\Leftrightarrow (5)A的所有主子式(行指标与列指标相同的子式)全大于或等于零$

注：仅顺序主子式大于或等于零不能保证半正定性

例： $f(x_1,x_2)=-x_2^2$

$=(x_1,x_2)\begin{pmatrix}0&0\\0&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_1\\x_2\end{pmatrix}$

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