常微分方程1

作者: 夏羽兮 | 来源:发表于2020-05-29 10:22 被阅读0次

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1、自变量、未知函数及函数的导数（或微分）组成的关系式，就是微分方程。

2、自变量、未知函数均为实值的微分方程称为实值微分方程；未知函数取复值或自变量及未知函数均取复值时称为复值微分方程。

3、在微分方程中，自变量的个数只有一个，这种微分方程称为常微分方程；自变量的个数为两个及两个以上的微分方程成为偏微分方程。

4、微分方程中出现的未知函数最高阶导数的阶数称为微分方程的阶数。

一般的 $n$ 阶常微分方程具有形式 $F=（x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny }{dx^n } ）=0$ ,这里 $F=(x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny }{dx^n } )$ 是 $x$ , $y$ , $\frac{dy}{dx}$ ,..., $\frac{d^n y}{dx^n }$ 的已知函数，而且一定含有 $\frac{d^ny }{dx^n }$ ; $y$ 是未知函数， $x$ 是自变量。

5、如果方程 $F(x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny }{dx^n } )=0$ 的左端为 $y$ 及 $\frac{dy}{dx}$ ,..., $\frac{d^ny}{dx^n }$ 的一次有理整式，则称该方程为 $n$ 阶线性微分方程；否则，则称为非线性微分方程。

6、如果函数 $y=\varphi (x)$ 代入方程 $F(x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny }{dx^n } )=0$ 后，能使它变为恒等式，则称函数 $y=\varphi (x)$ 为方程的解。如果关系式 $\phi （x,y)=0$ 决定的函数 $y=\varphi (x)$ 是方程的解，称 $\phi （x,y）=0$ 为方程的隐式解，隐式解也称为“积分”。

7、把含有 $n$ 个独立的任意常数 $c_{1}$ , $c_{2}$ ,..., $c_{n}$ 的解 $y=\varphi (x,c_{1},c_{2} ,...,c_{n} )$ 称为 $n$ 阶方程 $F(x,y,\frac{dy}{dx},...,\frac{d^ny }{dx^n } )=0$ 的通解。

满足初值条件的解称为方程的特解。

8、一阶微分方程 $\frac{dy}{dx} =f(x,y)$ $y=\varphi (x)$ 表示 $Oxy$ 平面上的一条曲线，称为微分方程的积分曲线，而通解 $y=\varphi (x,c)$ 表示平面上的一族曲线，特解 $\varphi （x_{0} ）=y_{0}$ 则为过点 $（x_{0} ，y_{0} ）$ 的一条积分曲线，积分曲线上过每一点的切线斜率 $\frac{dy}{dx}$ 为方程右端 $f(x,y)$ 在该点处的值。

9、用两个及两个以上的关系式表示的微分方程称为微分方程组。

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