高等代数理论基础61：欧几里得空间

作者: 溺于恐 | 来源:发表于2019-04-11 07:52 被阅读2次

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欧几里得空间

定义：设V是实数域R上一线性空间,在V上定义一个二元实函数,称为内积,记作 $(\alpha,\beta)$ ,具有以下性质：

1. $(\alpha,\beta)=(\beta,\alpha)$

2. $(k\alpha,\beta)=k(\alpha,\beta)$

3. $(\alpha+\beta,\gamma)=(\alpha,\gamma)+(\beta,\gamma)$

4. $(\alpha,\alpha)\ge 0\Leftrightarrow \alpha=0时(\alpha,\alpha)=0$

其中 $\alpha,\beta,\gamma$ 是V中任意向量,k为任意实数,这样的线性空间V称为欧几里得空间

注：

1.欧几里得空间可以是有限维的,也可以是无限维的

2.几何空间中向量的全体构成一个欧几里得空间

例：

1.线性空间 $R^n$ 中,对向量 $\alpha=(a_1,a_2,\cdots,a_n),\beta=(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ ,定义内积 $(\alpha,\beta)=a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n$

$R^n$ 构成一个欧几里得空间

2.在闭区间 $[a,b]$ 上的所有实连续函数所成的空间 $C(a,b)$ 中,对函数 $f(x),g(x)$ 定义内积 $(f,g)=\int_a^bf(x)g(x)dx$

$C(a,b)$ 构成欧几里得空间

性质

1.内积是对称的

2. $(\alpha,k\beta)=(k\beta,\alpha)=k(\beta,\alpha)=k(\alpha,\beta)$

3. $(\alpha,\beta+\gamma)=(\beta+\gamma,\alpha)=(\beta,\alpha)+(\gamma,\alpha)$

$=(\alpha,\beta)+(\alpha,\gamma)$

向量长度

定义：非负实数 $\sqrt{(\alpha,\alpha)}$ 称为向量 $\alpha$ 的长度,记作 $|\alpha|$

性质： $|k\alpha|=|k||\alpha|$ ,其中 $k\in R,\alpha\in V$

$|k\alpha|=\sqrt{(k\alpha,k\alpha)}=\sqrt{k^2(\alpha,\alpha)}=|k||\alpha|$

单位向量

长度为1的向量称为单位向量

若 $\alpha\neq 0$ ,用向量 $\alpha$ 的长度除向量 $\alpha$ ,得 ${1\over |\alpha|}\alpha$ ,为一个与 $\alpha$ 成比例的单位向量,称为把 $\alpha$ 单位化

向量夹角

柯西-布涅柯夫斯基不等式

$\forall \alpha,\beta$ , $|(\alpha,\beta)\le |\alpha||\beta|$

证明：

$当\beta=0时,显然成立$

$\beta\neq 0时,令t\in R$

$作向量\gamma=\alpha+t\beta$

$\forall t\in R,(\gamma,\gamma)=(\alpha+t\beta,\alpha+t\beta)\ge 0$

$即(\alpha,\alpha)+2(\alpha,\beta)t+(\beta,\beta)t^2\ge 0$

$取t=-{(\alpha,\beta)\over (\beta,\beta)}$

$则(\alpha,\alpha)-{(\alpha,\beta)^2\over (\beta,\beta)}\ge 0$

$即(\alpha,\beta)^2\le (\alpha,\alpha)(\beta,\beta)$

$|(\alpha,\beta)\le |\alpha||\beta|$

$当\alpha,\beta线性相关时,等号显然成立$

$反之,若等号成立$

$显然\beta=0或\alpha-{(\alpha,\beta)\over(\beta,\beta)}\beta=0$

$即\alpha,\beta线性相关\qquad\mathcal{Q.E.D}$

例：

1.对 $R^n$

$|a_1b_1+a_2b_2+\cdots+a_nb_n|\le \sqrt{a_1^2+a_2^2+\cdots+a_n^2}\sqrt{b_1^2+b_2^2+\cdots+b_n^2}$

2.对 $C(a,b)$

$|\int_a^bf(x)g(x)dx|\le (\int_a^bf^2(x)dx)^{1\over 2}(\int_a^bg^2(x)dx)^{1\over 2}$

三角形不等式

$|\alpha+\beta|\le |\alpha|+|\beta|$

$|\alpha+\beta|^2=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)$

$=(\alpha,\alpha)+2(\alpha,\beta)+(\beta,\beta)$

$\le |\alpha|^2+2|\alpha||\beta|+|\beta|^2$

$=(|\alpha|+|\beta|)^2$

故 $|\alpha+\beta|\le |\alpha|+|\beta|$

向量夹角

定义：非零向量 $\alpha,\beta$ 的夹角 $<\alpha,\beta>=arccos{(\alpha,\beta)\over|\alpha||\beta|}$ , $0\le <\alpha,\beta>\le \pi$

正交

定义：若向量 $\alpha,\beta$ 的内积为零,即 $(\alpha,\beta)=0$ ,则称 $\alpha,\beta$ 正交,或互相垂直,记作 $\alpha\perp\beta$

注：

1.两个非零向量正交的充要条件为它们的夹角为 ${\pi\over 2}$

2.只有零向量才与自己正交

勾股定理

当 $\alpha,\beta$ 正交时, $|\alpha+\beta|^2=|\alpha|^2+|\beta|^2$

$|\alpha+\beta|^2=(\alpha+\beta,\alpha+\beta)=(\alpha,\alpha)+(\beta,\beta)=|\alpha|^2+|\beta|^2$

推广：

度量矩阵

设 $V$ 是一个n维欧几里得空间,在V中取一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ , $\forall \alpha,\beta\in V$

$\alpha=x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n$

$\beta=y_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+y_n\varepsilon_n$

$(\alpha,\beta)=(x_1\varepsilon_1+x_2\varepsilon_2+\cdots+x_n\varepsilon_n,y_1\varepsilon_1+y_2\varepsilon_2+\cdots+y_n\varepsilon_n)$

$=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^n(\varepsilon_i,\varepsilon_j)x_iy_j$

令 $a_{ij}=(\varepsilon_i,\varepsilon_j)(i,j=1,2,\cdots,n)$

显然, $a_{ij}=a_{ji}$

故 $(\alpha,\beta)=\sum\limits_{i=1}^n\sum\limits_{j=1}^na_{ij}x_iy_j$

且 $(\alpha,\beta)=X'AY$

其中 $X=\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\\vdots\\x_n\end{pmatrix}$ , $Y=\begin{pmatrix}y_1\\y_2\\\vdots\\y_n\end{pmatrix}$ 分别为 $\alpha,\beta$ 的坐标

矩阵 $A=(a_{ij})_{nn}$ 称为基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 的度量矩阵

注：

1.度量矩阵完全确定内积

2.不同基的度量矩阵是合同的

设 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 是空间V的另外一组基,由 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 到 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 的过渡矩阵为C,即

$(\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n)=(\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n)C$

则 $\eta_1,\eta_2,\cdots,\eta_n$ 的度量矩阵 $B=(b_{ij})=(\eta_i,\eta_j)=C'AC$

3.度量矩阵是正定的

对 $\alpha\neq 0$ ,即 $X\neq\begin{pmatrix}0\\0\\\vdots\\0\end{pmatrix}$

$(\alpha,\alpha)=X'AX\gt 0$

反之,给定一个n级正定矩阵A及n维实线性空间V的一组基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ ,可规定 $V$ 上内积,使它成为欧几里得空间,且基 $\varepsilon_1,\varepsilon_2,\cdots,\varepsilon_n$ 的度量矩阵为A

注：欧几里得空间的子空间在所定义的内积之下也是一个欧几里得空间

欧几里得空间简称欧氏空间

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