什么是数学？——《数学是什么》读书笔记（1）

乐乐老师/文

高斯（Gauss）曾经这样评价数学：“数学是科学之王，……，它常常屈尊去为天文学和其它自然科学效劳，但在所有的关系中，它都堪称第一。”高斯就是那个为了早点回家，很快算出来“从一加到一百等于几”的孩子，也是世界四大数学家之一，德国人值得骄傲的“数学王子”，他道出了数学的气质——数学牛逼得不要不要的，却并不高冷。

数学，许多人视之为洪水猛兽，但也有人将其看作上帝馈赠。不管芸芸众生对其看法如何，它都在一直发展，并一直推动着整个科学向前发展。两千多年来，数学的发展主要分为三个阶段：17世纪之前的初等数学阶段，主要研究对象为常量，如初等几何、初等代数等，大多为我们中学所学；文艺复兴之后的变量数学阶段，主要研究变量，如微积分、解析几何和高等代数，是大学里让我们头疼的主要科目；19世纪至今的近代数学阶段，产生了实变函数、泛函分析、非欧几何、拓扑学、近世代数、计算数学、数理逻辑等一群分支，只有数学专业的高年级学生或者研究生才会学到。近年来，数学又应用于动力学产生了混沌，应用于地理产生了分形几何，应用于通信产生了小波分析。这些新兴方向正在使我们的生活变得更便捷、更漂亮、更美好。

那么，到底什么是数学呢？

恩格斯说过：“数学是现实世界中的空间形式和数量关系。”除此之外，数学有没有更加犀利的定义呢？很抱歉，没有。数学最好的定义居然不是数学家给出的？不要惊讶，其实马克思也“不务正业”地写过一本书，叫做《数学手稿》。

那么恩格斯的这个定义该如何解读呢？

1. 数学是和现实世界紧密联系的，来源于现实世界，又应用于现实世界；

2. 数学主要表现为数和形，所以最基础的方向就是代数和几何。

更具体地说，数学按其内容可以分成五个大的分支：基础数学（Pure Mathematics）、应用数学（Applied Mathematics）、计算数学（Computation Mathematics）、运筹与控制（Operations Research and Control）和概率论与数理统计（Probability and Mathematical Statistics），但其核心领域还是代数学、几何学和分析学。

如果不从数学内容的角度，而从数学与其它科学的关系来说，我们也许还可以这样介绍数学。

网上有一个段子，说1669年，牛顿在剑桥大学升为数学教授。当时学校资金紧张，包括牛顿在内的大部分老师的薪水已拖欠数月。为解决此问题，牛顿潜心研究创立了微积分，将一门名叫“高等数学”的新科目设为全校的必修课，并规定不及格者来年必须缴费重修直到通过。很快教师们的工资发了下来。事实真的是这样吗？数学学院的楼管阿姨皱了皱眉，说，应该是假的吧。这当然是假的。17世纪的欧洲，文艺复兴已接近尾声，人们的思想产生剧变；“日心说”逐渐战胜“地心说”，开普勒提出闻名于世的行星运动三定律。同时，牛顿也在苦思一种理论框架，来描述重力作用下的物体运动，这样，便有了万有引力定律和微积分学。

两百年之后，另一个牛人也遇到了点儿麻烦，爱因斯坦花了好几年时间试图形成“引力实际上只是空间的曲率”这种可能性，但苦于找不到合适的数学描述。他有心自己建立数学模型，无奈数学水平实在撑不起他的物理版图。年轻时曾看不起数学与数学家的他，只得求助于他的好基友格洛斯曼（Marcel Grossman），而格洛斯曼也不含糊，告诉他一个可以让他抓狂很久的消息，小爱，你黎曼（Bernhard Riemann）大爷在60年前就给你准备好了你所说的数学模型（就是现在我们所说的“黎曼几何”）。

“近代自然科学之父”伽利略说得好：“展现在我们眼前的宇宙像一本用数学语言写成的大书，如果不掌握数学符号语言，就像在黑暗的迷宫里游荡，什么也认不清。”

很多不喜欢数学的人，总觉得如果没有数学，那么我们的学生生涯将多么地快乐。现在让我们假设没有数学。

• 没有数学，没有Maxwell方程，就没有电磁波理论，就不会有现代通讯技术，莫说手机，电话都木有，给异地的女朋友说悄悄话只能写信；

• 没有数学，没有Navier-Stokes方程，就不会有流体力学的理论基础，就不可能产生航空学，世界上没有飞机，没有卫星，我们就没有无线网，除了没有手机，没有网络，连有线电视都没有；

• 没有数学，没有数理逻辑和量子力学，就不会有现代电子计算机，没有计算机的社会是什么样子，画面太美我不敢看；

• 没有数学，没有微积分，就没有工业革命，……，完了，一切全完了。

17世纪，培根曾经说过：“数学是打开科学大门的钥匙。”20世纪，当有人问第一位诺贝尔物理学奖获得者伦琴（发现X射线的哥们儿）取得这样的成就需要什么，他回答说：“第一是数学，第二是数学，第三是数学（重要的事情说三遍！）。”马克思也刻薄地说：“一门科学，只有当它能够成功地运用数学时，才算真正发展了。”

任何事物都是量和质的统一体，而数学正是一门研究量的科学。

1950年，豪普特曼（Herbent Hauptman）对晶体结构产生了兴趣，通过测量，他确定其傅里叶系数的绝对值，然后从强度推断出相位，……，好吧，如果你不知道我在说什么，只需要知道：他通过数学上的古典傅里叶分析理论解决了一个难倒现代化学家的难题，并因此在1985年获得了诺贝尔化学奖。你还需要知道，这哥们儿最后一次学化学是在大一，“数学家豪普特曼”就这样莫名其妙地变成了“化学家豪普特曼”。

这种奇葩事还有很多，例如，工程师考尔麦克（Allan M. Cormack）根据数学家拉杜（Randon）发现的拉杜变换（根据大量一维度量得出三维图像）发明了CT扫描，后又被发展为核磁共振，于1979年获得了诺贝尔医学奖；文科生阿洛（Kenneth Arrow）自学了微积分和线性代数后，利用一般均衡数学模型预言自由市场行为，掀起了经济学领域数学化的浪潮，于1972年获得了诺贝尔经济学奖。诺贝尔没有数学奖，但是很多人却因为数学拿到了诺贝尔物理学奖、化学奖、医学奖和经济学奖。

把一条线段分为两个部分，使其中一部分的长度为整个线段长度与另一部分长度的比例中项，可得比值1.618…，称为“黄金比”，这一分割称为“黄金分割”。文艺复兴时期，艺术大师达芬奇和丢勒等人，把几何学上对图形的定量分析应用于一般的绘画艺术，画出非常美妙的作品。由黄金分割得到的黄金矩形，可以构造美丽的螺线——“黄金螺线”和“对数螺线”。

此外，数学还是非常简洁的科学。勾股定理、欧拉公式、爱因斯坦质能方程，无不极度简洁。怀特说过“数学可以定义为相继用简单的概念来代替复杂的概念。”英国数学家Atiyah说：“数学的目的就是用简单而基本的词汇尽可能多地解释世界……”