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第2章 第2节 数列极限

第2章 第2节 数列极限

作者: 苏打QAQ | 来源:发表于2019-04-16 19:53 被阅读0次

数列

按正整数编了号的一串数。
\lbrace x_n \rbrace:x_1,x_2,...,x_n,...
x_n——通项
注意：
数列的表示有顺序，而集合没有。

定义 2.2.1

有数列\lbrace x_n\rbrace,常数a.
假如对任意给定的\epsilon > 0,可以找到正整数N,使得当n>N时，成立|x_n-a|<\epsilon.
则称\lbrace x_n\rbrace收敛于a,记为：\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a.(x_n\to a(n\to \infty))
若假如不存在a,使\lbrace x_n\rbrace收敛于a,则称\lbrace x_n\rbrace发散。
\implies \epsilon - N语言.
\forall \epsilon >0,\exists N,\forall n > N:|x_n-a|<\epsilon.

邻域

O(a,\epsilon)=(a-\epsilon,a+\epsilon)=\lbrace x|a-\epsilon<x<a+\epsilon\rbrace.

一个数列收敛与否，收敛的话，收敛于哪个数，这与数列的前有项无关。

例 2.2.1

用定义证明\lbrace \frac{n}{n+3}\rbrace极限为1。

证：
对任意给定的\epsilon>0,要使得：|\frac{n}{n+3}-1|=\frac{3}{n+3}<\epsilon \Longleftrightarrow n>\frac{3}{\epsilon}-3
取N=[\frac{3}{\epsilon}]+1,则当n>N时,
|\frac{n}{n+3}-1|<\epsilon .

以0为极限的变量称为无穷小量

例 2.2.2

0<|q|<1,证明\lbrace q^n\rbrace 是无穷小量.

方法一
对任意给定的\epsilon >0:
|q^n-0|=|q^n|<\epsilon
n\lg{|q|}<\lg{\epsilon}
n>\frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}}
取N=max([\frac{\lg{\epsilon}}{\lg{|q|}}],1)
当n>N时,
|q^n-0|=|q^n|<\epsilon

方法二
对任意给定的\epsilon >0:0<\epsilon < |q|,（只考虑小的）
...略

例 2.2.3

证明：\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{a}=1,(a>1).

证：
对任意给定的\epsilon > 0,
令\sqrt[n]{a}-1=y_n,y_n>0.
\sqrt[n]{a}=1+y_n
a=1+C_n^1y_n+C_n^2y_n^2+C_n^3y_n^3+...+C_n^ny_n^n>1+ny_n

y_n<\frac{a-1}{n}
为了使:\sqrt[n]{a}-1=y_n<\frac{a-1}{n}<\epsilon
n>\frac{a-1}{\epsilon}
取N=[\frac{a-1}{\epsilon}]+1
当n>N时,|\sqrt[n]{a}-1|=y_n<\frac{a-1}{n}<\epsilon.

例 2.2.4

证明:\lim\limits_{n \to \infty}\sqrt[n]{n}=1

证:
对任意给定的:\epsilon > 0
令\sqrt[n]{n}-1=y_n>0,(n=2,3,4,...)
n=1+C_n^1y_n+C_n^2y_n^2+C_n^3y_n^3+...+C_n^ny_n^n>1+C_n^2y_n^2=1+\frac{n(n-1)}{2}y_n^2
y_n^2<\frac{2}{n},y_n<\sqrt{\frac{2}{n}} < \epsilon
n>\frac{2}{\epsilon^2}
取N=[\frac{2}{\epsilon^2}]+1
当n>N时,|\sqrt[n]{n}-1|=y_n<\sqrt{\frac{2}{n}}<\epsilon.

例 2.2.5

\lim\limits_{n \to \infty}\frac{n^2+1}{2n^2-7}=\frac{1}{2}

证：
对任意给定:\epsilon>0
|\frac{n^2+1}{2n^2-7}-\frac{1}{2}|=|\frac{7n+2}{2n(2n-7)}|=\frac{7n+2}{2n(2n-7)}<\frac{8n}{4n^2}\cdot 2=\frac{4}{n},(n>6).
令\frac{4}{n}<\epsilon,n>\frac{4}{\epsilon}
取N=max([\frac{4}{\epsilon}],6)
当n>N时:|\frac{n^2+1}{2n^2-7}-\frac{1}{2}|=|\frac{7n+2}{2n(2n-7)}|<\frac{4}{n}<\epsilon.

例 2.2.6

设\lim\limits_{n \to \infty}a_n=a,证明:\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=a.

证：
(1)先设a=0,对任意给定的\epsilon > 0,存在N_1,当n>N_1时:|a_n|<\frac{\epsilon}{2}<\epsilon
\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{N_1}}{n}+\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+a_{N_1+3}+...+a_n}{n}
|\frac{a_{N_1+1}+a_{N_1+2}+a_{N_1+3}+...+a_n}{n}|<\frac{\epsilon}{2}
a_1+a_2+a_3+...+a_n确定,取N>N_1,使n>N时:|\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_{N_1}}{n}|<\frac{\epsilon}{2}
所以:|\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}|<\epsilon.
(2)a\not = 0
\lbrace a_n-a \rbrace是无穷小量.
\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}-a=\lim\limits_{n \to \infty}\frac{(a_1-a)+(a_2-a)+(a_3-a)+...+(a_n-a)}{n}=0
所以:\lim\limits_{n \to \infty}\frac{a_1+a_2+a_3+...+a_n}{n}=a

数列极限的性质

（1）惟一性

若\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=b,则a=b.

证明

（2）有界性

对于数列\lbrace x_n \rbrace ,若\exists M \in R,\forall n \in N^+,成立: x_n \le M,
则:M是\lbrace x_n \rbrace的一个上界,或称\lbrace x_n \rbrace 有上界.
若\lbrace x_n \rbrace 既有上界也有下界,则称\lbrace x_n \rbrace 有界,
即:\exists X \in R^+,\forall x \in N^+,成立:|x_n| \le X.

证明

推论

收敛数列必定有界.

（3）保序性

有\lbrace x_n \rbrace,\lbrace y_n \rbrace,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}x_n=b,a<b.
则：\exists N,\forall n>N,成立：x_n<y_n。

证明

（4）夹逼性

有\lbrace x_n \rbrace,\lbrace y_n \rbrace,\lbrace z_n \rbrace,\exists N,\forall n>N:成立x_n \le y_n \le z_n且\lim\limits_{n \to \infty}x_n=\lim\limits_{n \to \infty}z_n=a,
则：\lim\limits_{n \to \infty}y_n=a。

证明

数列极限的四则运算

有\lim\limits_{n \to \infty}x_n=a,\lim\limits_{n \to \infty}y_n=b.则：
（1）\lim\limits_{n \to \infty}(\alpha x_n+\beta y_n)=\alpha a+\beta b（前提：有限个项相加）
（2）\lim\limits_{n \to \infty}(x_n\cdot y_n)=a\cdot b
（3）\lim\limits_{n \to \infty}\frac{x_n}{y_n}=\frac{a}{b}

证明

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