15.蒙日定理

在定义了圆幂以后，又在平面上考察点对两个圆的圆幂。平面上有两个圆，点对两个圆有各自的圆幂，很多时候不相等。但平面上有某些点，恰好对两个圆的幂相等。

给定两个圆，对这两个圆等幂的点的轨迹是一条直线。这条直线的名称叫根轴。根轴垂直于连心线。

当两圆相交的时候，根轴恰好是过相交弦的直线。

两个圆有一个根轴。
（同心圆的根轴为无穷远直线。）

如果是三个圆，那么三个圆两两之间各有一个根轴，共有三个根轴。

蒙日定理：三个圆的根轴共点。

这个点，命名为根心。因此，蒙日定理也称为根心定理。

根心

证明：如图，圆O，圆P的根轴分别设为AC;
圆P，圆Q的根轴设为GH;
设AC与GH相交，交点为X.

由于X在圆O和圆P的根轴上，所以对圆O与对圆P的幂相等;
由于X在圆P和圆Q的根轴上，所以对圆P与对圆Q的幂相等;

通过相等的传递，可知，X对圆O和圆Q的幂相等。
因此，X在圆O和圆Q的根轴上。

因此，三个根轴共点。

（如果两个根轴平行，则可假设相交于无穷远点，根心为无穷远点。）