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趣味数学:蜡烛还可以再烧多久?

趣味数学:蜡烛还可以再烧多久?

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-07-02 22:32 被阅读0次

    蜡烛还可再烧多久?

    易老师为学生思思和方方讲应用题。今天的题目是这样的:

    两根粗细相同、材质相同但长度不同的蜡烛竖直地漂在水面上,一开始,长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半;将两根蜡烛同时点燃 1 小时后,长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等. 已知蜡烛漂在水面上时,露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 \dfrac{1}{9},那么短蜡烛还可再烧多久? 长蜡烛还可再烧多久?


    易老师:拿到题目首先干什么?审题。现在,你们仔细读题,把已知条件整理出来。

    方方动作快,很快就整理出以下几点:

    「条件A」 一开始,长蜡烛露出水面的部分是短蜡烛总长度的一半;
    「条件B」 同时点燃 1 小时后,长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等.
    「条件C」 露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 \dfrac{1}{9} .


    老师问:非常好!动手解题吧。
    思思提了一个问题:老师,我有个疑问:蜡烛一小时烧多长?题中没有给出。似乎少了一个条件。

    老师反问:思思,你一顿吃几碗饭?
    思思:一碗。

    易老师:那你知道一碗饭有几克吗?
    思思:没有称过,不知道。

    易老师:事实上,一般情况下,你也不需要知道。在饭馆点餐的时候,我们是怎样说的?直接告诉服务员,我们要加三碗米饭。假如你告诉服务员,我们需要 210 克米饭,反而是非常奇怪的。

    方方:所以说,我们并不需要知道一个小时燃烧的长度,只需要知道它能烧多久。对吗?
    易老师:完全正确。这个问题,很自然地想到要用方程来解答。首先要做个决定:设谁为 x
    你们有什么想法?

    方方:我设短蜡烛还能再烧 x 小时。
    易老师:请解释一下这样做的理由。

    方方:一般说来,加法要比减法简单;乘法要比除法简单,整数要比分数简单。我设短蜡烛长度为 x, 则长蜡烛的总长度为 10x. 假如我们将长蜡烛长度为 x, 则短蜡烛的总长度为 \dfrac{1}{10}x, 计算不太方便.

    易老师:方方这思路不错,但是比较跳跃。请说得细一些。
    方方:我们设短蜡烛还可以再烧 x 小时,根据「条件 B」, 长蜡烛露出水面的部分与短蜡烛总长度相等,也是 x 小时. 再根据「条件C」,长蜡烛的总长还可以再烧 10x 小时;
    那么,一个小时前,短蜡烛和长蜡烛的总长分别相当于 (x+1) 小时和 (10x+1) 小时,于是,可以列出方程:

    \dfrac{1}{2}(x+1) = \dfrac{1}{10}(10x+1)

    易老师:不错。这个方程的依据何在?
    方方:依据就是「条件A」。

    思思:同时还用到了「条件 C」.

    易老师:思思补充得很好。你来完整地说明一下方程的依据吧。
    思思:这里的关键在于「条件C」. 原题中的描述是这样的 :露出水面的长度始终等于蜡烛在水下长度的 \dfrac{1}{9} .

    我们可以换成以下几种说法:

    「推论C1」 蜡烛的水下部分是水上部分的 9 倍;
    「推论C2」 蜡烛的总长是水上部分的 10 倍;
    「推论C3」 蜡烛的水上部分是蜡烛总长的 \dfrac{1}{10};

    确切地说,我们就是根据「推论C3」得出结论:一开始,长蜡烛的水上部分相当于 \dfrac{1}{10}(10x+1) 小时的燃烧量,又依据条件A,就可以得到上面的等式。

    易老师:讲得非常好。我们把方程解出来吧。


    10 \cdot\dfrac{1}{2}(x+1) =10 \cdot \dfrac{1}{10}(10x+1)

    5x+5=10x+1

    5-1=10x-5x

    4=5x

    \dfrac{4}{5}=x

    x=\dfrac{4}{5} (小时)

    10x=8 (小时)

    结论:短蜡烛还可以再烧 \dfrac{4}{5} 小时,也就 48 分钟,长蜡烛还可以用 8 小时.


    【总结与提高】

    易老师:今天大家的表现都很棒。我们简单总结一下。

    第一,解答应用题,一定要仔细审题,深入分析;

    第二,在一个具体的问题中,我们可以临时约定一些自定义的单位。比如,长度的单位是米和厘米。但在本题中,我们就以一个小时燃烧的长度作为一个自定义单位;

    第三,遇到较复杂的问题,不要指望一步到位,有一些策略可以帮助我们分析问题。多画图,多列表格,都是不错的办法。


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