平面几何：2020年广东卷题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-10-07 22:01 被阅读0次

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2020年广东卷题20

（本小题满分6分）

如图，在△ $\triangle ABC$ 中，点 $D,E$ 分别是 $AB,AC$ 边上的点， $BD=CE$ ， $\angle ABE=\angle ACD$ ， $BE$ 与 $CD$ 相交于点 $F$ .

求证： $\triangle ABC$ 是等腰三角形.

【证法1】

利用全等三角形完成证明.

∵ 在 $\triangle FDB$ 与 $\triangle FEC$ 中,

$\left\{ \begin{array} \\ \angle ABE=\angle ACD \\ \angle DFB=\angle EFC \\ BD=CE \\ \end{array} \right.$

∴ $\triangle FDB \cong \triangle FEC \quad(AAS)$

∴ $FD=FE, FB=FC$

∴ $BE=CD$

∵ 在 $\triangle ABE$ 与 $\triangle ACD$ 中,

$\left\{ \begin{array} \\ \angle A=\angle A \\ \angle ABE=\angle ACD \\ BE=CD \\ \end{array} \right.$

∴ $\triangle ABE \cong \triangle ACD \quad (AAS)$

∴ $AB=AC$ , $\triangle ABC$ 是等腰三角形. 证明完毕.

【证法2】

基本思路是用等腰三角形的判定定理和性质定理完成证明。

$\triangle FDB \cong \triangle FEC \quad$ 的推导过程与证法1相同。

∵ $\triangle FDB \cong \triangle FEC$

∴ $FB=FC$

∴ $\triangle FBC$ 是等腰三角形

∴ $\angle FBC = \angle FCB$ （等腰三角形的性质）

又 ∵ $\angle ABE=\angle ACD$

∴ $\angle ABC = \angle ACB$

∴ $\triangle ABC$ 是等腰三角形， $AB=AC$ . （等腰三角形的判定定理）

证明完毕.

【证法3】

主要特点是应用共高三角形的面积关系，将面积比与线段长度比联系起来。

$\triangle FDB \cong \triangle FEC \quad$ 的推导过程与证法1相同。

∵ $\triangle FDB \cong \triangle FEC$

∴ $S_{\triangle FDB} = S_{\triangle FEC}$

∴ $S_{\triangle FDB} + S_{\triangle FBC} = S_{\triangle FEC} + S_{\triangle FBC}$

∴ $S_{\triangle DBC} : S_{\triangle EBC} = 1:1$

∵ $S_{\triangle DBC} = \dfrac{DB}{AB} \cdot S_{\triangle ABC}$ ,

$S_{\triangle EBC} = \dfrac{EC}{AC} \cdot S_{\triangle ABC}$

∴ $\dfrac{DB}{AB}:\dfrac {EC}{AC} =\dfrac{DB}{EC} : \dfrac{AB}{AC} = 1:1$

又 ∵ $DB=EC$ , ∴ $AB=AC$ .

【提炼与提高】

本题难度不高，代表性强。适合作为八年级上册的补充习题。

1）证明方法1直接用全等三角形完成证明，在学习《第十二章全等三角形》后即可掌握；

2）证明方法2用到了等腰三角形的性质及判定定理。所以在学习《第十三章轴对称》后，可以应用新学的等腰三角形的知识再证一次。

3）面积公式在几何问题中经常能发挥意想不到的效果。证明方法3就用了面积公式，应该要重视。

【回归教材】

在人教版的《数学八年级上册》中，有两个习题与这个考题具有相似之处：

「习题12.2 题2」

「习题12.3 题3」

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