高中直线与圆

直线

概念

斜率

k = y2-y1 / x2-x1

直线越陡峭，|k| 越大
两直线平行，k1 = k2
两直线垂直，k1 * k2 = -1

应用：两直线平行 <=> 两条直线的方程一定可以写成如下形式
Ax + By + C1 = 0
Ax + By + C2 = 0

l1: 2x-7y-8=0
l2: 6x-21y-1=0，

∵ l1 等价于 6x-21y-24=0
∴ l1 ∥ l2

倾斜角

k = tanα

α 是倾斜角 [0°, 180°)
α = 90°，k不存在
α = 0°，k = 0
0° < α < 90°，k > 0
90° < α < 180°(-90° < α < 0°)，k < 0

截距

截距可正可负
横截距 (a, 0)
纵截距 (0, b)

直线方程

点斜式

已知直线过一点(x0, y0)，直线斜率为k，则直线方程为：
y - y0 = k(x-x0)
y = k(x-x0) + y0

斜截式

已知直线斜率为k，纵截距为b，则直线方程为：
y = kx + b

截距式

已知直线横截距为a，纵截距为b，则直线方程为：
x/a + y/b = 1 (ab ≠ 0)

两点式

已知直线的两点坐标为 (x1, y1)，(x2, y2)，则直线方程为：
y-y1 / y2-y1 = x-x1 / x2-x1

一般式

其他形式都有不适用的情况，一般式可以适用于所有的直线
ax + by + c = 0

点到直线的距离

线段中点坐标公式：
( (x1+x2)/2, (y1+y2)/2)

两点间的距离公式：
d = 厂(x1-x2)² + (y1-y2)²

点到直线距离公式：
点 P(x0, y0) 到直线 Ax+By+C=0 的距离为：
d = |Ax0+By0+C| / 厂A²+B²

两条平行直线间距离公式：
l1: Ax + By + C1 = 0
l2: Ax + By + C2 = 0
d = |C1-C2| / 厂A²+B²

应用1：利用点到直线距离求三角形面积

已知三角形ABC三个顶点的坐标，求三角形面积步骤：

1. 根据BC点的坐标求BC长度
2. 根据BC点的坐标求直线BC方程
3. 根据A点坐标求A点到BC边的距离
4. 求三角形ABC面积

应用2：含参的直线恒过定点

若直线的参数有一个未知数，则不管未知数为何值，该直线恒过一个定点

已知直线 l: (1-2a) x + (3a+2) y - a = 0
则无论 a 为何值， l 恒过一个定点，求定点坐标步骤：

1. 参数分离，将 x y 当做已知数，将 a 当做未知数
   l <=> (-2x+3y-1)a + (x+2y) = 0

2. 让 a 的系数为 0 的点(x, y)，无论a为何值，直线 l 都会过该点(x, y)

-2x+3y-1 = 0
x+2y = 0
解方程组，该定点坐标为：x=-2/7, y=1/7

圆的方程

圆上任意一点到圆心(a, b)的距离都等于半径 r，利用两点间距离公式，可以得到圆的标准方程

圆的标准方程：
(x-a)² + (y-b)² = r²
圆心(a, b)，半径 r

圆的一般方程：
x²+y²+Dx+Ey+F = 0

直线与圆的位置关系

相离 相切 相交

方法1. 圆心到直线的距离与圆的半径比较大小
方法2. 圆的方程与直线方程联立，化成一元二次方程，求△，看有几组解

圆与圆的位置关系

方法1. 圆心距与半径和及半径差作比较

d > r1 + r2 相离
d = r1 + r2 外切
r1 - r2 < d < r1 + r2 相交
d = r1 - r2 内切
d < r1 - r2 内含

韦达定理

韦达定理公式：一元二次方程ax²+bx+c=0（a、b、c为实数且a≠0）中，两根x₁、x₂关系为x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a。
根据求根公式可以推导韦达定理 x1,2 = 2a 分之 -b 加减根号下 b 方减 4ac