地标性考题：2014年文数全国卷A题20

方程与曲线：2014年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）
已知点 ，圆 ，过点 的动直线 与圆 交于 两点，线段 的中点为 ， 为坐标原点.
（I）求 的轨迹方程;
（Ⅱ）当 时，求 的方程及 的面积.

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【分析】

假如要从高中数学的研究对象中评选出一个最核心的、高考中出场最频繁的，那答案应该就是圆。

圆内有无数的等腰三角形和直角三角形。所以，与圆相减的问题，经常可以用三角形的知识来解决。

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【问题1的解法一：向量方法】

圆 的方程可以变形为：

可见，圆 的圆心坐标为 , 半径为 .

因为点 是线段 的中点，根据垂径定理，,

设点 的坐标为 , 则

整理后得：

结论： 的轨迹方程为：

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【问题1的解法二：勾股定理】

圆 的圆心坐标为 , 半径为 . 依据垂径定理可知：,

设点 的坐标为 , 则

整理后得：

结论： 的轨迹方程为：

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【问题1的解法三：斜率之积】

圆 的圆心坐标为 , 半径为 . 依据垂径定理可知：, 所以两条直线的斜率之积为 , 即

设点 的坐标为 , 则

整理后得：

结论： 的轨迹方程为：

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【问题1的解法四：几何方法】

圆 的圆心坐标为 , 半径为 . 依据垂径定理可知：.

因为 是定点，点 是动点，且 ，根据平面几何的知识，点 的轨迹是以 为直径的圆。

其半径为 , 其圆心为

所以， 的轨迹方程为

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【问题2的解法一：两个圆的公共点】

如图所示，因为 ，点 满足以下方程：

结论问题1的结论可知，点 满足如下方程组：

解得：

显然，这是 两点的坐标。

直线 的方程为：

点 到 的距离为：

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【问题2的解法二：直线与圆的公共点】

由题设条件可知： 是等腰三角形，直线 是 的垂直平分线。

直线 的方程为：

点 满足如下方程组：

以下同方法一。

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【提炼与提高】

本题难度不高，但却很有典型性、代表性。这样的考题就是地标性考题。

作为一个典型例题，本题很好地回答了这样一个问题：

如何利用已知条件中的直角？

在解析几何中，应该从以下几个方向考虑：

1）向量之积为 ；

2）勾股定理；

3）斜率之积等于 ；

4）直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半；

本题第1问的四种解法分别展示了以上四个方向。

本题中还可以提炼出一个常用结论。

『常用结论』： 如果圆的弦经过圆内一个定点，则弦的中点的轨迹是一个圆。

在最近十年的高考题中，有若干个考题可以用这一结论破解。

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