直线与圆：2015年文数全国卷A题20

作者: 易水樵 | 来源:发表于2021-09-05 00:07 被阅读0次

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直线与圆：2015年文数全国卷A题20

（20）（本小题满分12分）

已知过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线 $l$ 与圆 $(x-2)^2 + (y-3)^2=1$ 交于 $M,N$ 两点.

（I）求 $k$ 的取值范围;

（Ⅱ）若 $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$ ，其中 $O$ 为坐标原点，求 $|MN|$ .

【解答问题I】

过点 $A(0,1)$ 且斜率为 $k$ 的直线方程为： $y=kx+1$

$M,N$ 两点满足如下方程组：

$\left\{ \begin{array}\\ y=kx+1 \\ x^2+y^2-4x-6y+12=0 \\ \end{array} \right.$

消元后得「方程1」：

$(k^2+1)x^2-4(k+1)x+7=0$

$\Delta=4^2(k+1)^2-4\times7(k^2+1)=-4(k-3)(3k-1)$

∵ 直线 $l$ 与圆交于 $M,N$ 两点，∴ $\Delta \gt 0$

∴ $\dfrac{1}{3 } \lt k \lt 3$

【解答问题Ⅱ】

由「方程1」可得： $x_1+x_2=\dfrac{4(k+1)}{(k^2+1)}$ , $x_1\cdot x_2=\dfrac{7}{(k^2+1)}$

$y_1 \cdot y_2 = (kx_1+1)(kx_2+1)=k^2x_1x_2+k(x_1+x_2)+1$

∵ $\overrightarrow{OM} \cdot \overrightarrow{ON}=12$

∴ $(k^2+1)x_1x_2+k(x_1+x_2)+1=12$

代入解得： $k=1$

$x_1+x_2=4,\; x_1\cdot x_2=\dfrac{7}{2}$

$(x_1-x_2)^2=(x_1+x_2)^2-4x_1x_2=2$

$|MN|^2=(k^2+1)(x_1-x_2)^2=4$

∴ $|MN|=2$

【图形】

本题较为简单，而且可以精确作图。类似这样简单的题目，解答过程中并不需要作图。但在得出计算结果后再作出示意图，对于加深理解，还是有好处的。

【提炼与提高】

解析几何就是用代数的方法和工具研究几何问题。

『判别式』和『韦达定理』是解析几何中最基本也最常用的工具。

本题难度较低，可以用作《直线与圆》部分的补充习题。

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