陈定学(黑光)
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内容摘要：从符号组合角度看，每个自然数都是由组合码和元序列码两部分组合而成；所有进制的数系，都遵循着相同的符号组合原理；自然数的符号组合模式有”左组合码＋右元序列码”和”左元序列码＋右组合码”两种。
”有限个实物元序列＋元序列符号的无限次组合“是自然数体系的构造逻辑，”有限个实物元序列”交代了自然数基序产生的自然之源，”元序列符号的无限次组合”则揭示了自然数体系通过符号组合”虚构基序”的奥妙，揭示了自然数体系从有限数体系跃迁为无限数系的机制。也解释了罗马数、我国古数等所有古数为什么不能建成无限数系的原因。
关键词：符号组合规律；元序列；组合码；元序列码；组合模式；
<一>、自然数的符号组合之惑
自然数是通过符号表达基、序信息的，从这意义上说，自然数体系是一套符号体系。当前，虽然用阿拉伯数字符号构造的十进制自然数体系已被数学界确立为全人类的通用数系，但是数学界对于自然数(符号）体系的构造原理却鲜有论及。
如果在知乎或百度上有奖提问十进制数8，9的后继为什么是用1和0两个符号的左右组合成的”10”？能不能用”00”组合或”01”组合或”11”组合呢？恐没有人能给出明确的回答。
众所周知，当前的十进制数系是人类在漫长的生活实践中摸索着慢慢建立起来的，8，9的后继用”10”之所以被广泛接受，并不是因为这样组合基于了某种确定的构造逻辑或方法原理，而是因为这样组合所构造的序列及数关系，能够被人类的生活实践验证为正确(譬如人们通过3个4相加的和与2个6相加的和相等，——都等于12，从而判定8，9的后继序列10，11，12，13……是正确的），所以就这么固定下来了，至于为什么正确，组合的方法原理是什么，是否还有其它组合方法等问题，数学界至今未见论及。
<二>明确自然数符号组合原理的意义
自然数系列是一套严密的逻辑关系体，具有有序性、传递性〔1〕等鲜明的逻辑学特点。任意两个自然数之间，必然是”大于”和”小于”的包含与被包含关系，绝不会出现”等于”或”无关系”的情形，可见，自然数体系是一套完备的符号逻辑系统，这样的符号系统不可能没有可归纳的、同一性的构造规律。
从认识论角度明确自然数的符号组合原理是必要的，不仅能从原理上明确十进制数系中8，9的后继为什么是10(实际上也可以是”01”，见4.3章节），从符号学角度弄懂自然数体系的构造原理，也能解决很多数论问题。譬如”0是不是自然数”这个至今争议不定〔2〕的数论问题，在本文视角看来，0是元序列中的打头号，具有始发、空位内涵〔3〕，0毫无疑问是自然数(符号）。
除了以上显见的表层意义外，本文还有以下三方面重要意义。
1、本文明确了自然数的符号组合原理，为研究各种进制数的性质提供了积极的方法论工具(详见5.1章节）；
2、本文解决了自然数体系如何从有限数体系跃迁为无限数体系的认识论问题(见5.2章节）：
3、本文从符号的形体结构上解释了为什么所有的古数都构造不出合格数系(见5.3章节）。
<三>、”元序列”是自然数体系是核心要素
在没讲解自然数的符号组合规律之前，笔者认为有必要铺垫性地提出一些有助于解构自然数体系的概念，先从”元序列”概念说起。
任何符号、任何进制的自然数体系的构造，最初都是从对元序列的构造开始的。所谓“元序列”，是指构造者用自定义选择的两个或两个以上的符号，在一维空间上对它们的排列位置作定格固定后，所形成的一组静态的符号序列。
(笔者在下文中用“<>”号把组成元序列中的符号括起，作为对元序列的标记）
构造元序列的符号是广义的，实物、字符、图形、图像等，但凡视觉上有封闭轮廓的形相物个体，都可以用来构造元序列，譬如用a、b、c三个英文字母可以构造出元序列<a，b，c>，构造者根据这个元序列，以及笔者给出的自然数的符号组合原理(见第三章节），就可以构造出一套三进制的自然数(符号）体系。
元序列是构造数体系的原始材料，例如，二进制数体系的元序列是<0，1>，十进制数系的元序列是<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>；十六进制的元序列是<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，a，b，c，d，e，f>。
元序列是自然数体系”生长展开的种子、基因”，自然数的一切性质皆来自元序列，元序列的性质有以下几方面:
3.1、元序列是进制数的定义者
一般而言，元序列中有多少个符号，就能构造出多少进制的自然数体系〔4〕，譬如0、1二进制数体系用0和1两个符号构造的，所以是二进制，十进制数用0~9十个符号作元序列构造的，所以是十进制。
3.2、元序列是自然数基序及关系产生的本源
自然数(符号）的基、序内涵及本质，都是基于元序列符号之间的空间位置关系推导出的，给出任一元序列(几个书面符号的固定排列，或自然界中的一排树、一排房屋的静态排列），就可以按进制的数阶倍率关系，推算出用这种元序列构造的自然数个体(某种组合型态）所表示的基序内涵，譬如在用<上，中，下>作元序列构造的三进制自然数体系中，”下中下上”这个三进制自然数与十进制自然数69是等价的，——即”下中下上”这个组合，是元序列<上，中，下>按自然数的符号组合规律(见第四章节），从”上上”组合开始，组合、排列到第69次时所形成的组合型态，27х2+9х1+3х2+0=69)。反之，我们也可以把任一十进制自然数转换为某种元序列的非十进制自然数，譬如随机给出一个十进制数”81”，这个数在元序列<a，b，c，d，e>的五进制数体系中，相当于组合型态”dbb”(25х3+5х1+1х1=81）；在<东，西，南，北>四进制数系中，81则相当于组合型态”西西东西”表示的基序(64×1＋16×1＋4×0＋1×1=81）。
3.3、元序列是自然数(符号）的生产者
自然数只能以符号形式被人类识别应用，自然数都是用符号构造的，具体说每一个自然数都是由”组合码”和”元序列码”两部分组合而成〔5〕，”元序列码”即在任一自然数末位上出现的那个符号，元序列码只在自然数的末位上出现，除了末位上的元序列码，其它数位上的符号合在一起统称为”组合码”(单个符号的自然数组合码是元序列中的打头号，例如十进制数3的组合形式是”03”），以十进制自然数”5692”为例，它是由组合码”569”和右侧末位上的元序列码”2”两部分组合而成。
元序列码和组合码都来自元序列，组合码最初也是由元序列符号两两组合产生的，所以笔者说元序列是自然数符号的母体、生产者。
<四>、自然数的符号组合规律
交代完了元序列概念以及派生的组合码、元序列码等概念，就可以通过这些概念直观地讲解自然数的符号组合规律了。
自然数体系的符号组合规律：先用元序列中的第一个符号与元序列中的所有符号作左右组合并依次排列，然后再用元序列中的第二个符号与元序列中的所有符号左右组合并依次承接排列，如此类推，当元序列中的所有符号都两两组合穷尽后，再用前期生成的序列作为组合码，继续与元序列中的元序列码组合并依次承接排列，这样，不断生成的序列(组合码的依次排列）与元序列码的不断组合，就会不断递进延伸着自然数序列，组合码就像滚雪球一样位数越来越多，构造的自然数位数也越来越多，构造的自然数序列也越来越长，如此不断操作，并成了自然数及其序列的构造产生过程”。
(说明：以上陈述的构造原理是当前自然数采用的”左组合码码＋右元序列码”组合模式，”左元序列码＋右组合码”模式也可以构造自然数，见本文4.3章节）。
4.1、以0、1二进制数的符号化构造为例，讲解以上陈述的自然数体系的构造原理
0、1二进制自然数的元序列是<0，1>，构造0、1二进制自然数体系的步骤是:先用0分别与<0，1>中的0和1作左右组合并依次排列，第一批次可得到组合排列00、01(0是二进制数系中的空位号，不表示基序内涵，在左侧添加上空位号不影响该数的基序性质，这么添加是为了整体上呈现自然数的符号组合逻辑）；再用1与<0，1>中的0、1分别组合，第二批次可得10、11，把两次的组合排列连贯成一个序列，并得到二进制序列的前四个00，01，10，11，根据组合规律，可推导出11的后继是用组合码10与元序列中的0组合成的100(要把100分解为10和0两部分来理解，其中左侧的”10“是组合码，右侧的那个0是元序列<0,1>中的元序列码0）。
为了便于区别组合码和元序列码，以及直观呈现组合码和元序列码是如何组合构造自然数及其体系的，笔者下文开始把组合码用下画横线作标注，元序列码不另作标记了，元序列码只占用一个数位，即右侧末位，不标也容易识别）。
承接第二批次，第三批次组合可得到100、101，第四批次组合得到110、111，第五批次组合得到1000、1001，第六批次组合得到1010、1011，把第一批次至第六批次的组合依次串连起来得到:00，01，10，11，100，101，110，111，1000，1001，1010，1011，这就是用<0，1>作元序列，从”00”组合开始，历经六批次共12次组合构造出的二进制自然数的前12个数(它们分别与十进制自然数0~11对应），通过上面序列中的组合码出现的规律可见，组合成二进制前12个数的组合码依次是(0、0），(1、1），(10、10），(11、11），(100、100），(101、101），不难发现，是这6个组合码与元序列中的0、1重复组合生成了二进制的前12个数(组合规律要求每个组合码都要与元序列中的符号分别组合一次，二进制元序列只有两个符号，所以6个组合码可组合出12个二进制自然数，若是十进制，则组合十次后再换下一个组合码继续组合并排列，见下文），这12个数的组合码连成的序列也就是当前数学教科书中给出的0、1二进制序列中的前六6个，——0，1，10，11，100，101。
由上所述可见，是元序列符号之间的两两组合产生了组合码，组合码又与元序列中的符号继续组合生成新的序列，如此不断组合与承接排列，并构造出了<0，1>二进制自然数体系。
4.2、再以元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>构造十进制自然数体系为例，讲解自然数体系的符号组合规律
十进制自然数的元序列是<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>，按自然数的符号组合规律，用以上符号分别与以上所有符号作左右组合排列，第一批次可得00，01，02，03，04，05，06，07，08，09；第二批次可得10，11，……18，19；……
十进制自然数序列的组合码是十次一换，元序列码一次一换。十进制自然数组合码出现的规律图示如下:
00 01 …… 08 09(第一批次） ；
10 1 …… 18 19(第二批次） ；
20 21 …… 28 29 ；
30 31 …… 38 39 ；
40 41 …… 48 49 ；
50 51 …… 58 59 ；
60 61 …… 68 69 ；
70 71 …… 78 79 ；
80 81 …… 88 89 ；
90 91 …… 98 99 ；
100 101 …… 108 109 ；
110 111 …… 118 119
……
220 …… 228 229
……
1000 …… 1008 1009
……
由上面列出的画横线的组合码与元序列码在十进制自然数序列中出现的规律可见，十进制自然数的组合码依次是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，……(即阵列竖看出现的画横线的序列，也即当前数学教科书上说的自然数序列，这个序列也是十进制自然数的组合码序列，用这个序列依次与元序列码组合，就构造出了组合意义的自然数序列）。
从自然数的符号组合规律可以看出，任何一个自然数(符号）都是由右侧末位上的一位元序列码和左侧所有数位合在一起的组合码两部分组合而成，譬如自然数”15462”，它是由组合码”1546”和元序列码”2”左右组合而成。由此规律可见，五位数的自然数组合码即左边的四个数，四位数自然数的组合码即左边那三个数，两位数自然数的组合码即左边的那个符号，组合码和右边的元序列码一样，最初都来自元序列。
组合码和元序列码容易混淆，二者的区别在于组合轮换的次数∶构造序列时，不论多少进制数的序列，元序列码每次组合都要换一次(按元序列顺序循环使用），而组合码则p次组合换一次(p是进制数)，譬如构造十进制自然数序列时，组合码十次一换，元序列码一次一换；在构造十六进制数的序列时，组合码则十六次一换，元序列码仍然是一次一换。
4.3、当前人类通用的”左组合码＋右元序列码”的组合模式并不是必然、唯一的
自然数的组合码和元序列码的位置并不是固定不可变的，当前人类通用的十进制数和二进制数，都是按“左组合码＋右元序列码”模式组合构造的，笔者通过大量的组合实践表明，把组合码与元序列码的位置互换一下，同样可以构造数，即”左组合码码＋右元序列码”这种组合模式也可以构造数。
下面笔者按”左元序列码＋右组合码”模式，用元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>重新构造十进制数及其序列(笔者在每个数的后面标上通用的十进制数，以作对比区别）：
00(0），10(1），20(2），30(3），40(4），50(5），60(6），70(7），80(8），90(9），01(10），11(11），21(12），31(13），41(14），51(15），61(16），71(17），81(18），91(19），02(20），12(21），22(22），……，89(98），99(99），001(100），101，201，……899(998），999(999），0001(1000），1001(1001），2001(1002），……
通过上面列出的序列对比可见，新组合模式和原”左元序列码＋右组合码”模式构造出的十进制数，整体的区别在于”左右颠倒”，原本8，9的后继组合是左1右0的组合”10”，按笔者提出的新组合模式，8，9的后继就成了左0右1的组合”01”。
用”左元序列码＋右组合码”模式构造出的十进制数，两两之间的基序关系当然也得随之变化。新组合模式的十进制数的加乘演绎式选列如下：
加法演绎式(部分）
0＋10=10；0＋20=20；……；0＋90=90；
10＋20=30；……10＋90=01
20＋30=50；……20＋90=11
30＋40=70；……30＋90=21
……
90＋90=81
说明一：上列的00，10，20，30，40，50，60，70，80，90实际上是0，1，2，3，4，5，6，7，8，9(原自然数0~9十个数符号添加上空位号是：00，01，02，03，04，05，06，07，08，09，组合码在左边），笔者特地在它们的右侧添加上了空位号0(在新组合数的右侧添加空位号0，与在原自然数的左侧添加空位号0是同理的，都是空位号的添加），笔者之所以这么添加，有三方面目的意义：1、是为了说明组合码与元序列码的左右位置可自定义选择(组合码和元序列码的位置可以调换）；2、是为了明晰呈现自然数的符号组合规律。添加上空位号0，才能体现”符号组合”之意，才能理解”元序列号码两两组合并依次排列”这句话；3、是为了示意进位的方向，进位都是向空位号方向的，空位号在哪边，就向哪边进位，新组合法是自左向右进位，以30＋90=21为例，先从左边加，3＋9=21，过程可表述为：”本位写2再向右高阶上进1，右高阶上原来位值是空位号0，进1后位值变成1，故30＋90=21”。见下竖式图(0右上方的角标“¹”是对进一的示意）。
说明二：以上列出的加法演绎式，并不是对原有自然数及其演绎式的机械颠倒(不是通过把原自然数的0~9加法口诀表作颠倒得来的），这些演绎式是通过元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>中各符号所在的空间位置关系推演出的〔6〕，这些演绎式的得来与原来的自然数基序及关系无关。自然数的加乘演绎式都是通过”形相物的空间关系”推导出的，——可以把0、1、2、3、4、5、6、7、8、9十个数符号想象为排成一排的十棵树，这十个符号是对这些树的标记与指代，把0位置的那棵树”拔掉”作空位号处理(见《自然数的符号学原理》4.1章节），这样就可以根据1~9九棵树与空位号0处的位置推导出它们各自所在的基序位，推导出这些树及其指代符号所表示的基序，推导出它们的基序关系(详见《自然数体系的符号学原理》第五章）。新的”左元序列码＋右组合码”模式只是把8，9之后的组合自然数”10”变成”01”，它们都是对元序列<0，1，2，3，4，5，6，7，8，9>的承接，新旧两种组合模式获得的基序都是从0~9所指代的十棵树的位置关系推导出的，两种模式获得的基序是平行、并列的，二者并没有产生上的因果关系。
乘法演绎式(部分）
根据以上建构出的加法演绎式和乘法的意涵(m×n表示n个m相加），运用累数法可一次性地建构出新组合数的元序列符号(数）两两之间的乘法演绎式(即0~9十个数之间的乘法口诀表）。
0乘以1、2、3、4、5、6、7、8、9中的任何其数，积都=0，略；
1乘以任何数的积都是那个数，略；
2×2=4，2×3=6……2×5=01；2×9=81；
3×4=21；……；3×9=72；
4×4=61；4×5=02，……，4×9=63；
5×5=52；……，5×9=54；
6×6=63；……，6×9=45；
7×7=94；7×8=65；7×9=36；
8×8=46；8×9=27；
9×9=18
运用以上的新数加乘演绎式作四则运算演绎：
例一、51×3=54
该乘法过程讲解：自左向右逐个相乘，先算3×5，根据乘法演绎式可知3×5=51，在本位写5再向左上阶进1(高阶在左！），再根据乘法演绎式1×3=3，加上右低阶上进的1，可算出右高阶上的位值是4，于是得出51×3=54。
例二、9÷52=63.0，竖式如下：
该除法过程讲解：9是一位数，显然没有52大，需要在9的左侧补上0，用09除52，上3合适，因为52×3=57，52×4=001，所以只能上3，09-57=51(0向右高阶借1当十，减5剩5，右上阶的9被借去1后是8，8-7=1）；51比52小，不够除，再在左边添加上0，用051除52，上6正好除尽(52×6=051）。
验算：63.0×52=9
验算过程讲解：第一次乘；6×5=03，本位写0向右高位进3，3×5=51，加上进的3，得81(51＋3=81，3与5同阶对位），这样，第一次得乘积081。第二次乘；6×2=21，本位写2向右阶进1，2×3=6，加上进的1得7，第二次得乘积27，把两次的乘积对位相加：081＋27=009(2与8同阶对位），再去掉63.0这个数上的两个小数点位，得63.0×52=9，验算显示，用新组合法构造的数及其加乘演绎式，乘、除逆运算都能得出自洽、统一的结果(用原自然数检验：9÷25=0.36），说明用新组合法构造的自然数和原自然数加乘演绎式具有相同的运算功能，说明用新组合法构造的自然数和原组合法构造的自然数，具有相同的数学性质和逻辑完备性，
<五>、本文思想意义解读
首先要强调一点：本文耗费大量笔墨讲解了用”左元序列码＋右组合码”模式构造自然数体系的可行性，并不是要革新现有的十进制自然数体系及其组合模式，而是在论证自然数体系的符号性、人造性，是在解构自然数体系的构造原理。
本文的思想意义集中体现在以下几个方面。
5.1、本文明确给出了自然数的符号组合规律，对于进一步研究多种进制的整数、有理数提供了积极的方法论工具。
从纯数学研究角度看，掌握了自然数体系的符号组合规律，才能熟练、正确地构造各种符号各种进制数的数体系(正确的组合方法，是不同进制数之间能够实现准确换算的保障），才能进一步研究不同进制数的整数以及有理数的性质(目前已知：除尽除不尽与除数、与进制有关，十进制数系中，除数能写成2^p×5^q的都能被除尽，譬如2.5、4、5、6.4、6.25、8等数，都能被任何一个十进制整数或有限小数除尽；除数能不能被整除，则与被除数、与进制有关，被除数尾数为进制数质因数及其整倍数的，不会是质数，譬如十进制数中没有尾数为2、5的质数，六进制数中没有尾数为2、3的质数）。
5.2、本文提出的”元序列＋元序列符号的无限次组合延伸”的自然数构造论，从认识论角度打通了自然数体系从有限基数体系升级为无限基数体系的逻辑路径。
基于元序列符号的空间位置(这里的符号应作实物符号理解，见4.3章节说明二部分），就可推导出每个符号所在的基序位，推导出每个符号指代的基序，而承接在元序列之后的，用元序列符号组合”虚构的基序”(这里的元序列符号则指图样、字符等书面符号，相对于自然界中的实物的基序来说，用字符在纸张平面上的左右组合表示的基序相当于”虚构基序”），则能从逻辑上无限延伸元序列的基序(理论上元序列符号可以按固定的组合规律在一维空间中无限组合排列下去），从而让自然数体系从有限数系升级为可涵盖所有有限数的无限数系，满足了数的运算需要。
另外，本理论对目前数学界用集合概念定义自然数及其体系的方法是批判的，很显然，只有把元素符号化，才能进一步通过符号组合无限次的”虚构基序”，才能构造出无限的自然数系，而元素和集合概念并不能解释自然数体系的符号组合之妙，不能解释自然数体系是如何从有限基数体系跃迁为无限基数体系的。
5.3、本文提出的”元序列＋元序列符号的无限次组合延伸”自然数体系构造论，从原理上解释了为什么罗马数、巴比伦数等众多古数不能发展为合格数系的原因
上文(5.2）对自然数体系从有限基数向无限数跃迁的剖析表明，用纯符号组合”虚构基序”的方法才能让自然数体系从有限走向无限，这就对造数的理念和数的视觉型态提出了要求，要求元序列码要能够适应组合要求，不仅要求每个元序列符号结构要简单紧凑(不容易增减笔画)，要求相互之间有较高的视觉区别性(不易混淆），还要求要摒弃人类历史上绝大多数古数采用的”基数图示法”造数理念，因为一旦在数符号中直观呈现了数的基数信息，要么会面临某个基数大到无法在一维空间上排列因而无法继续造数的局面，出现学生写”万”字画万笔的困境〔7〕，要么就得被迫中断基数图示法造数逻辑，改用符号意义约定法继续造数，这样就会破坏整个数系的逻辑同一性，使得该数系无法执行进制逻辑，进而失去运算功能。
以我国古数和罗马数为例，我国古数和罗马数的1、2、3分别写为一、二、三和|、||、|||，显见的，这些古数符号中都直观地图示了1、2、3三个自然数所表示的基数。显然，按这样的造数逻辑，稍大点的数就无法书写排列了，所以我国古数和罗马数到4时，就中断了一开始的基数图示法逻辑(罗马数把4写成”Ⅳ”，我国古数把4写成”四”，都与前继”|||”和”三”失去了构造上的逻辑联系），所以我国古数和罗马数都不能执行进制逻辑，都没有完善的运算功能，只能作为一套简单的记数用数(只能记录简单基数或标记简单序数）。
另外，退一步看，古数的基数图示法造数理念不仅会局限于大数的图示，也会局限于数的有限性，不难想象，一套数系的基数有上限，必然不能满足数的运算对于数的无限性的要求，这样的数也发展不出有理数。
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参考文献：
1、百度，“自然数”；
2、黄燕，李祎. ”0真的应该成为自然数吗”，〔J〕数学通报.2015年第2期；
3、陈定学.”自然数的符号学原理”4.1.章节.〔N〕.https://www.jianshu.com/p/e9e7fc0d103d
4、陈定学，”自然数的符号学原理”.4.1.1章节.N
.https://www.jianshu.com/p/e
5、解释：可以把少数几个单符号的自然数添加上空位号(组合码），使之成为组合态，譬如在单独符号2的左边添加上0写成”02”。
6、陈定学，”自然数的符号学原理”第五章·；〔N〕.https://www.jianshu.com/p/e9e7fc0d103d
7、韩雪涛.”数的故事”.第21页，〔M〕.湖南科学出版社，2014年1月出版；
编辑于 8 分钟前
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