有心力问题（5）：轨道微分方程以及可积幂律势

作者: 有限与微小的面包 | 来源:发表于2020-01-20 11:21 被阅读0次

前面的章节探讨了如何在有心力问题中进行定性分析，以及如何在不直接求解运动方程积分的情况下尽可能提取关于微粒轨道的有用信息。然而，关于运动更多的细节信息则需要我们对运动方程进行求解。

运动方程的解，一般为距离 $r$ 以及角度 $\theta$ 关于时间 $t$ 的函数，并且包含一系列常数 $E,l,E_0,l_0$ 。

当我们对微粒运动的轨道方程感兴趣时，我们通常会选择将两个方程中其余变量对时间 $t$ 的依赖关系消去，得到一个距离 $r$ 关于角度 $\theta$ 的函数。

事实上，消去时间依赖关系的过程对于有心力问题是格外简单的：

$\bullet$ 根据角动量 $l$ 守恒：

$mr^2\dot{\theta} = l \implies \boxed{mr^2d\theta = l\;dt}$

我们立刻得到了角度和时间的微分关系，稍后便可用于将时间依赖关系消去。

$\bullet$ 对时间和角度的导之间的关系：

$\frac{d}{dt} = \frac{l}{mr^2}\frac{d}{d\theta}$ $\implies \frac{d^2r}{dt^2} = \frac{l^2}{m^2r^4}\frac{d^2r}{d\theta^2}$

代入运动方程：

$m\ddot{r} - \frac{l^2} {mr^3} = f(r)$

$\implies \boxed{\frac{l}{r^2}\frac{d}{d\theta}\left(\frac{l}{mr^2}\frac{dr}{d\theta}\right) - \frac{l^2}{mr^3} = f(r)}$

令 $u(r) = \frac{1}{r}$ $\implies dr = -r^2 du$

将运动方程用关于 $u$ 的函数来表示：

$\implies \frac{d^2 u}{d\theta^2} + u = -\frac{m}{l^2u^2}f\left(\frac{1}{u}\right)$

$\implies \boxed{\frac{d^2u} {d\theta^2} + u = \frac{m}{l^2}\frac{d}{du}V\left(\frac{1}{u}\right)}$

其中利用了关系 $\frac{d}{du}V\left(\frac{1}{u}\right) = (-u^{-2})f\left(\frac{1}{u}\right)$

$\bullet$ 上述微分方程的解是一个对称的轨道，在转折点处，该轨道方程可以反射位矢的方向而不会改变其他的量。我们将上述的方程称为具有对做类似 $\theta = 0$ 或 $-\theta$ 代换的不变性(invariant)。

$\bullet$ 同理，有关解的初值也是同样不变的：

（1） $u = u(0)$

（2） $\left.\frac{du} {d\theta}\right|_{\theta = 0} = 0$

（3） $\theta = 0$

所以，对于对称轨道，如果轨道的转折点已知，只要对任何相对一侧拱点矢量方向进行反射，我们就可以描绘出微粒运动的整条轨迹。

$\bullet$ 让我们稍微分析一下方程

$dt = \frac{dr}{\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}}$

利用之前得到的关于时间和角度的微分关系：

$dt = \frac{mr^2}{l}d\theta$

代入方程得：

$d\theta = \frac{ldr}{mr^2\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}}$

若 $\theta(r_0) = \theta_0$ ，对方程两边求积：

$\theta = \int_{r_0}^r\frac{ldr}{mr^2\sqrt{\frac{2}{m}\left(E-V-\frac{l^2}{2mr^2}\right)}} + \theta_0$

整理

$\boxed{\theta = \int_{r_0}^r\frac{dr}{r^2\sqrt{\frac{2mE}{l^2}} - \frac{2mV}{l^2} - \frac{1}{r^2}} + \theta_0}$

一个很明显的替换：

$u = \frac{1}{r} \implies dr = -r^2du$

积分变成：

$\boxed{\theta = \theta_0 - \int_{u_0}^u \frac{du}{\sqrt{\frac{2mE}{l^2} - \frac{2mV}{l^2} - u^2}}}$

$\bullet$ 求解上述积分并不总是那么容易。并不是每种类型的势函数 $V$ 都能够产生让人满意的解。在某些情况下，积分可能会产生超越解，所以我们就只能借助matlab或是python来进行数值分析。在被人研究过的所有势函数中，只有少数几种是真正能够产生解析解的，其中最出名的，大概就是幂律势了：

$V(r) = ar^{n+1} \implies V(u) = au^{-n-1}$

相应的力则与距离的 $n$ 次方成正比：

$f(r) = -\frac{\partial V}{\partial r} \propto r^n$

代入之前的积分可以得到：

$\theta = \theta_0 - \int_{u_0}^u \frac{du}{\sqrt{ \frac{2mE}{l^2} - \frac{2ma}{l^2}u^{-n-1} - u^2}}$

$\bullet$ 目前已知能够使用三角函数来表示的可积解所对应的幂次有：

$n = 1, -2, -3$

（ $n = -1$ 被除开在外，因为这时的势函数 $V = ar^0 = a$ 是一个常数，所以根本就不存在任何作用力。即便我们考虑直接将幂次放在力上面，即 $f(r) = ar^{-1}$ ，对应的势函数 $V(r) = -\int \mathbf{f}(r)\boldsymbol{\cdot} d\mathbf{r} = -\ln (r^a) + V_0$ ，可见，这时的势函数早已不是有心力势，固不可能。）

$\bullet$ 能够使用椭圆函数来表示的可积解所对应的幂次有：

$n = 5,3,0,-4,-5,-7$

$\bullet$ 对于其他可积情况，可能就需要考虑超几何函数(hypergeometric functions)。