数学抽象与数学语言

数学抽象可以作为数学的基本思想，通过抽象我们得到数学的语言或者定义。语言或者定义的作用是不可估量的。

卡西尔说：尽管语言无法以其自身的手段产生科学知识，甚至也无法触及科学知识，但是，语言确是通往科学知识之途的必经阶段，语言对事物知识得以生成和不断增长的唯一中介。

思想与语言之间的关系大体是这样的：一方面，无论是思维的过程还是表达的过程，都是语言承载的思想；另一方面，思想是思维的结果，体现了语言产生、发展与表达的内心活动。

数学语言主要是指数学的基本概念和运算法则，这些是数学所要研究的对象，是数学研究的基础。

数学思想是指数学基本概念和运算法则产生、发展与表达的内心活动。

第一，抽象的过程。数学的抽象经历过两个阶段：第一个阶段的抽象是基于现实的，第二个阶段的抽象是基于逻辑的。

抽象必须关注研究对象的共性，不仅如此，抽象还必须关注研究对象与其他事物的差异。把握共相、明晰异相，把所要研究的对象从诸多的事物中分离出来形成集合，对集合以及集合中的元素进行明名忙命名，这就是对研究对象进行抽象的基本思维过程。

卡西尔说：每命名行为是不可或缺的首要步骤和条件，而科学的独特工作就是建立在这种明确限定行为之上。在数学上，这种命名行为就是定义(有两种定义方法，一种是基于对应的定义，一种是基于内涵的定义)。

所谓基于对应是指通过若干具有同质特征的实例，给研究对象起个名字，不涉及研究对象的本质特征；所谓基于内涵是指把握研究对象的本质特征，述说研究对象是什么。这两种方法都要归结于公理体系，最终达到抽象的极致。

作为一名教师，我们应该从两个方面把握数学的抽象。

一方面，我们确信，真正的知识，包括数学最为本质的知识，是来源于感性久经验的，是通过直观和抽象对到的，因此抽象不能独立于人的思维而存在；另一方面，我们还应当知道，抽象能力是数学思维的基础，只有具备一定的抽象能力，才能从感性经验中获得事物的本质特征，从而上升到理性认识。

因此，数学教育，特别是基础阶段的数学教育，必须把抽象能力的培养作为一个重要的目标，无论受教育者未来是否从事与数学有关的工作。

就一个具体的数学概念的抽象过程而言，数学抽象大体可以分为三个阶段：

(1)简约阶段：把握事物关于数量或者图形的本质，把繁杂问题简单化，给予清晰表达；

(2)符号阶段：去掉具体内容，利用符号和关系术语，表述已经简约化的事物；

(3)普适阶段：通过假设和推理，建立法则、模式和模型，在一般意义上描述一类事物的特征或规律。

正如阿蒂亚所说：数学本身是一个层次分明的学科，每一层都是建立在之前的层次上，这就是为什么少受一年的教育可能导致灾难性的后果。这种层次结构与抽象发展是一致的。在这个过程中许多类似的现象被组合到一起，形成下一个层次的基石。

第二，抽象的存在。这完全是一个哲学问题。

这个问题是由柏拉图引发的。他认为人的教经验是不可靠的，因此，所有基于经验的概念都是不可靠的，只有理念才得以x穿存在。亚里士多德不同意柏拉图的观点，他认为抽象的东西是不吃存在的，它只是一个“名"而已。数学任务不是发现已经已经存在的东西，而是构建数学的研究对象。这就是著名的“名实之争”。

事实上，抽象的东西是存在的，因为只有基于这种存在，人们才可能对抽象的数学对象进行研究和交流。但这种存在绝不是现实的存在，而是抽象的存在，是那种存在于人们的大脑之中的，并且可以取得人们普遍共识的东西。

比如，我们看到足球、看到苹果，会形成圆的概念，离开了足球和苹果，在大脑中依然有圆的概念存在。依赖这个存在，我们可以在黑板上画出圆，可以在一起讨论圆，甚至可以给出圆的定义、研究圆的性质，这是一个由感性具体上升到理性具体的思维过程。在这个意义上，我们研究的不是曾经看到的足球、苹果这样具体的圆，也不是在黑板上画出的那个圆，而是在大脑中存在了的抽象的圆。

正因为如此，数学的研究才具有一般性。

善于画竹的郑板桥说得最为生动：我画的是我心中之竹，而不是我眼中之竹。

虽然与数学一样，哲学研究的对象也是抽象的东西，但二者之间有本质区别，了解这个区别对深入理解数学的抽象是有意义的。

康德所说：哲学的知识是出自概念的理性知识，数学知识则是出自概念的、构造的理性知识。构造一个概念就意味着：把与它相应的直观先验地展现出来。哲学知识只是在普遍中考察特殊，而数学知识则在特殊中，甚至在个别中考察普遍。

我们可以这样把握数学概念产生的思维过程：数学概念的形成是从特殊开始的，数学概念的思维是从直觉开始的。对于数学的抽象而言，构造的理性知识，或者说，具有结构的理性知识是非常重要的，因为数学最终要形成抽象结构，这个抽象结构包括对象以及对象的关系或者运算法则。

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