立体几何中的探索问题

作者: 天马无空 | 来源:发表于2021-03-18 10:14 被阅读0次

立体几何中的探索问题
图说数学透彻讲解平面立体几何问题，秒杀的感觉您要吗？
高考数学全国卷立体几何大题：折纸类问题
几何法证明空间中的平行关系
几何法证明空间中的垂直关系
立体几何问题中二面角的转化和应用：面面—线面—线线关系，找准主线
空间向量在立体几何中的应用（二）
空间向量在立体几何中的应用（一）
再次探讨几何中辅助线的添加方法
推荐系统遇上深度学习(十二)--推荐系统中的EE问题及基本Ban

【高考地位】
探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象能力，又可以考查学生的意志力及探究的能力．近几年高考中立体几何试题不断出现了一些具有探索性、开放性的试题．内容涉及异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，平行与垂直等方面，对于这类问题一般可用综合推理的方法、分析法、特殊化法和向量法来解决．一般此类立体几何问题描述的是动态的过程，结果具有不唯一性或者隐藏性，往往需要耐心尝试及等价转化，因此，对于常见的探究方法的总结和探究能力的锻炼是必不可少的．

方法一直接法

用直接法解立体几何中的探索问题

使用情景：立体几何中的探索问题
解题步骤：

第一步首先假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步然后运用方程的思想或向量的方法转化为代数的问题解决；
第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
例1．如图甲， $\odot O$ 的直径 $AB=2$ ，圆上两点 $C$ 、 $D$ 在直径 $AB$ 的两侧，使 $\angle CAB =\dfrac{\pi}{4}$ ， $\angle DAB =\dfrac{\pi}{3}$ ．沿直径 $AB$ 折起，使两个半圆所在的平面互相垂直（如图乙）， $F$ 为 $BC$ 的中点， $E$ 为 $AO$ 的中点．根据图乙解答下列各题：

（1）求证： $CB \perp DE$ ；
（2）在 $BD$ 弧上是否存在一点 $G$ ，使得 $FG \parallel$ 平面 $ACD$ ？若存在，试确定点 $G$ 的位置；若不存在，请说明理由．

【解析】

（1）在 $\triangle AOD$ 中， $\because \angle OAD=60^{\circ}$ ， $OA=OD$ ，

$\therefore \triangle AOD$ 为正三角形，

又 $\because E$ 为 $OA$ 的中点，

$\therefore DE \perp AO$ ，

$\because$ 两个半圆所在平面 $ACB$ 与平面 $ADB$ 互相垂直且其交线为 $AB$ ，

$\therefore DE \perp$ 平面 $ABC$

$\therefore CD \perp DE$

（2）存在， $G$ 为 $\overset{\frown}{AB}$ 的中点，

证明如下：

连接 $OG$ ， $OF$ ， $FG$ ， $\therefore OG \perp BD$

$\because AB$ 为 $\odot O$ 的直径， $\therefore AD \perp BD$

$\therefore OG \parallel AD$

$\because OG \not \subset$ 平面 $ACD$ ， $AD \subset$ 平面 $ACD$ ，

$\therefore OG \parallel$ 平面 $ACD$

在 $\triangle ABC$ 中， $O$ ， $F$ 分别为 $AB$ ， $BC$ 的中点，

$\therefore OF \parallel AC$ ， $\because OF \not \subset$ 平面 $ACD$ ，

$\therefore OF \parallel$ 平面 $ACD$

$\because OG \cap OF =O$

$\therefore$ 平面 $OFG \parallel$ 平面 $ACD$

又 $FG \subset$ 平面 $OFG$

$\therefore FG \parallel$ 平面 $ACD$ .

【总结】

本题考查了直线与平面垂直的判定和直线与平面平行的判定. 这类探索性题型通常是找命题成立的一个充分条件，所以解这类题采用下列二种方法：

⑴通过各种探索尝试给出条件;

⑵找出命题成立的必要条件，也证明充分性．

方法二空间向量法

用空间向量法解立体几何中的探索问题

使用情景：立体几何中的探索问题
解题步骤：

第一步首先根据已知条件建立适当的空间直角坐标系并假设求解的结果存在，寻找使这个结论成立的充分条件；
第二步然后运用空间向量将立体几何问题转化为空间向量问题并进行计算、求解；
第三步得出结论，如果找到了符合题目结果要求的条件，则存在；如果找不到符合题目结果
要求的条件，或出现了矛盾，则不存在．.
【例】如图, 已知矩形 $ABCD$ 所在平面垂直于直角梯形 $ABPE$ 所在平面于直线 $AB$ ，且 $AB=BP=2$ ， $AD=AE=1$ ， $AE\perp AB$ ，且 $AE \parallel BP$ .

（Ⅰ）设点 $M$ 为棱 $PD$ 中点，求证： $EM \parallel$ 平面 $ABCD$ ；
（Ⅱ）线段 $PD$ 上是否存在一点 $N$ ，使得直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值等于 $\dfrac{2}{5}$ ？若存在，试确定点 $N$ 的位置；若不存在，请说明理由．
【解析】：

（Ⅰ）证明（方法一）：

由已知，平面 $ABCD \perp$ 平面 $ABEP$ ，且 $BC \perp AB$ ，则 $BC \perp$ 平面 $ABEP$

所以 $BA$ ， $BP$ ， $BC$ 两两垂直

故以 $B$ 为原点， $\overrightarrow{BA}$ 、 $\overrightarrow{BP}$ 、 $\overrightarrow{BC}$ 分别为 $x$ 轴， $y$ 轴， $z$ 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，

则 $P(0,2,0)$ ， $D(2,0,1)$ ， $M(1,1,\dfrac{1}{2})$ ， $E(2,1,0)$ ， $C(0,0,1)$ ，

所以 $\overrightarrow{EM}=(-1,0,\dfrac{1}{2})$

易知平面 $ABCD$ 的一个法向量等于 $\vec{n}=(0,1,0)$ ，

$\therefore \overrightarrow{EM} \cdot \vec{n}=(-1,0,\dfrac{1}{2}) \cdot (0,1,0)=0$

所以 $\overrightarrow{EM} \perp \vec{n}$

又 $EM \not \subset$ 平面 $ABCD$

所以 $EM \parallel$ 平面 $ABCD$

方法二：

由三视图知， $BA$ ， $BP$ ， $BC$ 两两垂直．连结 $AC$ ， $BD$ 其交点记为 $O$ ，连结 $MO$ ， $EM$ ．

因为四边形 $ABCD$ 为矩形，所以 $O$ 为 $BD$ 中点．

因为 $M$ 为 $PD$ 中点，

所以 $OM∥PB$ ，且 $OM=\dfrac{1}{2}PB$ ．
又因为 $AE∥PB$ ，且 $AE=\dfrac{1}{2}PB$ ，

所以 $AE∥OM$ ，且 $AE=OM$ ．

所以四边形 $AEMO$ 是平行四边形，

所以 $EM∥AO$ ，因为 $EM \not \subset$ 平面 $ABCD$ ， $AO \subset$ 平面 $ABCD$ ，

所以 $EM \parallel$ 平面 $ABCD$ ．

（Ⅱ）当点 $N$ 与 $D$ 重合时，直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ ，理由如下：

因为 $\overrightarrow{PD}=(2,-2,1)$ ， $\overrightarrow{CD}=(2,0,0)$ ，设平面 $PCD$ 的法向量为 $\vec{n_1}=(x_1,y_1,z_1)$ ，

由 $\begin{cases}\vec{n_1}\cdot \overrightarrow{PD}=0 \\ \vec{n_1} \cdot \overrightarrow{CD}=0\end{cases}$ ，得 $\begin{cases}2x_1-2y_1+z_1=0 \\ 2x_1=0\end{cases}$ ，

取 $y_1=1$ 得平面 $PCD$ 的法向量 $\vec{n_1}=(0,1,2)$ ，

假设线段 $PD$ 上存在一点 $N$ ，使得直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ .

设 $\overrightarrow{PN}=\lambda \overrightarrow{PD}(0\leqslant \lambda \leqslant 1)$ ，则

$\overrightarrow{PN}=\lambda(2,-2,1)=(2\lambda,-2\lambda,\lambda)$ ， $\overrightarrow{BN}=\overrightarrow{BP}+\overrightarrow{PN}=(2\lambda,2-2\lambda,\lambda)$

$\sin \alpha=|\cos<\overrightarrow{BN},\vec{n_1}>|=\dfrac{|\overrightarrow{BN} \cdot \vec{n_1}|}{|\overrightarrow{BN}|\cdot|\vec{n_1}|}=\dfrac{2}{\sqrt{5}\cdot \sqrt{(2\lambda)^2+(2-2\lambda)^2+\lambda^2}}=\dfrac{2}{5}$ .

所以 $9\lambda ^2-8\lambda-1=0$ ，解得 $\lambda=1$ 或 $\lambda=-\dfrac{1}{9}$ （舍去），

因此，线段 $PD$ 上存在一点 $N$ ，当 $N$ 点与 $D$ 点重合时，直线 $BN$ 与平面 $PCD$ 所成角的正弦值为 $\dfrac{2}{5}$ .

【总结】

利用空间直角坐标系求解空间角的关键是建立空直角坐标系，而建立空间直角坐标系主要途径：

（1）一般来说，如果已知的空间几何体中含有两两垂直且交于一点的三条直线时，就以这三条直线为坐标轴建立空间直角坐标系；

（2）如果不存在这样的三条直线，则应尽可能找两条垂直相交的直线，以其为两条坐标轴建立空间直角坐标系，即坐标系建立时以其中的垂直相交直线为基本出发点；

（3）建系的基本思想是寻找其中的线线垂直关系，在没有现成的垂直关系时要通过其他已知条件得到垂直关系．

立体几何中的探索问题
【高考地位】探究性问题常常是条件不完备的情况下探讨某些结论能否成立，立体几何中的探究性问题既能够考查学生的空间想象...
图说数学透彻讲解平面立体几何问题，秒杀的感觉您要吗？
图说数学秒杀令人盲然无措的平面立体几何问题您要吗？几何问题框架可大致了解一下！平面立体几何问题一直是我初中...
高考数学全国卷立体几何大题：折纸类问题
高考数学全国卷立体几何大题：折纸类问题折纸：2011年理科数学陕西卷题16 （12分）如图，在中，，是 ...
几何法证明空间中的平行关系
立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，...
几何法证明空间中的垂直关系
立体几何是高考的重点内容之一，每年高考大题必有立体几何题，尤其是第一问主要考查证明线面垂直、平行，面面垂直等问题，...
立体几何问题中二面角的转化和应用：面面—线面—线线关系，找准主线
立体几何是中学数学几大主要知识板块之一，很多的立体几何问题中都涉及到二面角关系，但是也通常都不能直接用二面角关系一...
空间向量在立体几何中的应用（二）
向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图...
空间向量在立体几何中的应用（一）
向量在立体几何中占有重要的地位，且扮演着一个非常重要的角色，其应用打破了立体几何的传统解法，可以减少大量的辅助作图...
再次探讨几何中辅助线的添加方法
无论是平面几何还是立体几何中，对于很多问题的研究和解决，辅助线一直都发挥着举重轻重的作用。前面的文章中我已经讲过两...
推荐系统遇上深度学习(十二)--推荐系统中的EE问题及基本Ban
1、推荐系统中的EE问题 Exploration and Exploitation(EE问题，探索与开发)是计算广...