什么是命题
- (1)陈述句: 对(2)确定的对象进行(3)判断.
- 真值是命题的固有属性, 但是能否知道真值是另外一回事; 也就是说, 当前条件下能否判断出真值, 不是是否是命题的条件.
- 自相矛盾的悖论不能算命题, 命题非真即假
排中律
- 非真即假
- 任何一个事物在某个时间段内具有或者不具有某个属性, 而没有其他"中间状态", 叫做排中律
- 反证法就是典型的排中律运用
- 直觉主义者对排中律的质疑: 有穷推到无穷会出问题;
逻辑连接词
连接词内容
- 原子命题
- 原子命题+逻辑连接词 = 复合命题
- 非, 或, 且, 如果就, 当且仅当(等价),
命题如何变成算式
-
抽象
- 仅仅关注命题的本质属性: 真值
- 仅仅关注逻辑连接词的本质属性: 运算
-
把命题和逻辑连接词变成符号 用规则连接
- 原子命题: p, q, r, s 记号
- 逻辑连接词符号: 非!, 且^, 或v, 如果就→, 当且仅当 双向箭头;
- 符号的定义
- 命题的真值: 1 true, 0 false
-
*形式主义者: 数学就是符号的游戏, 只不过有一部分恰好符合现实世界而已
逻辑连接词具体定义
非 not
- 注意: 天鹅都是白的 非命题: 天鹅不都是白的/ 并非所有天鹅都是白的;
且 and conjunction 合取(看俩)
- 刘灵既聪明, 又用功 ==> p ^ q
- 刘灵不但聪明, 而且用工 ==> p ^ q
- 刘灵虽然不聪明, 但是用工 ==> !p ^ q
- 刘灵不是不聪明, 而是不用功 ==> p ^ !q
- 抛弃了自然语言的情感, 价值倾向, 只留下真值;
或 or disjunction 析取(看单)
- 小龙学过java或者C ==> p v q //相容或, 我可以都学过
- 小龙生日是在9月或者10月 ==> p v q //排斥或, 二者只能成立一个
- 后面两种排斥或 也叫 "抑或"; //原来新文化运动中创造的汉语词汇都这么考究;
蕴含词 implication = 如果..就..(if.. then..)
- p->q p为蕴含前件, 蕴含后件; //表示了一个充分关系;
- 自然语言向蕴涵词的转化:
- 只要..就.. = 如果..那么
- 注意: 只有a才b //是必要条件, 写出来应该是b->a, 在集合中, 是a包含b, b为a的子集(充分条件);
- 注意: 蕴含只是数理逻辑中的一种逻辑连接词, 不一定有什么内在的因果关系;
- 只有p真q假的时候, p->q才为假
- p假q真: 如果雪是绿的, 那么天安门是北京的. (真)
//*这句话并不和现实情况矛盾, 假设有现实世界和平行世界, 那么现实世界满足 如果雪是白的, 天安门是北京的; 那么由雪是绿的这个假命题, 我们进入了平行世界, 那么在这个世界里, 天安门是北京的还是说不是北京的都可以, 因为平行世界对现实世界不构成影响, 因此可以随意怎么设置. * - p假q假: 如果雪是绿的, 那么天安门是上海的. (真) // 也很符合直觉, 类似太阳从西边出来了, 我才会嫁给你这种臭男人. 潜台词是在现实中不会发生.
- p真q假: 如果雪是白的, 那么天安门是上海的. (假) //这个为假, 雪是白的, 我们在现实世界里, 那么天安门必须是北京的.
- p真q真: 如果雪是白的, 那么天安门是北京的. (真) //很符合直觉
- p假q真: 如果雪是绿的, 那么天安门是北京的. (真)
- 与!p v q的真值表相同;
- 另外一个理解p真q假才为假的方法是把它当成一句诺言: 如果天气好, 我就去接你 //那么天气不好的话, 我接你还是不接你都不算是违反了诺言. 只有天气好, 我不接你, 才是违反了诺言.
- 后记: 高中做阅读理解填空的时候, 常常被 问题: paragraph xx implies ( ) ,要选择ABCD的一个statement难住, 其实这里implies的意思就是说胡:
- 问xx段落蕴含着什么
- 或者说, xx段落是下面哪个statement的充分条件,
- 再或者说, xx段落是下面哪个statement的子集;
双向蕴涵词 two-way implication - if and only if - 当且仅当
- 自然语言:
- 嫌疑犯有罪 当且仅当 法庭判决嫌疑人有罪
- p <=> q 相当于说这两个是等价的
- 除非断网了, 否则他肯定QQ在线
- p <=> q
- 只要有网络, 他就QQ在线
- 只要没有网络, 他就QQ不在线 //注意区别: 只有没有网络, 他才QQ不在线
- 可见p, q同真同假的时候, 双向蕴涵词才为真;
- 嫌疑犯有罪 当且仅当 法庭判决嫌疑人有罪
复合命题的例子
- 如果2+3>5 当前仅当 5是合数, 则2和3都是有理数
- p: 2+3>5, q: 5是合数, r: 2是有理数 s: 3是有理数
- (p<=>q) -> (r^s)
命题公式
定义
- 命题常元和命题变元是命题公式, 称作原子公式或者原子
- 如果A, B是命题公式, 那么!A, A^B, AvB, A->B, A<->B也是命题公式
- 有限步引用上述符号组成的串也是命题公式
逻辑连接词的优先级
- 按照我们给出定义的顺序: !A, A^B, AvB, A->B, A<->B 从左到右, 优先级递减;
命题公式的意义
- 真值函数, f(p, q, r, s) = 命题公式 , 是从p, q, r, s的定义域集合(其实也就是{0, 1}) 到{0, 1}的一个映射
- 给命题变元赋值;
真值表
- 有n个原子(变元), k个逻辑连接符(运算符)
- 真值表会有n+k行, 2^n列(n个原子, 每个原子取0 or 1)
- 没有交换律和结合律, 计算严格按照顺序
- 成真赋值, 成假赋值 α= {1, 0, 1} α(A) = 1 //表示说命题公式A, 在给了α有序三元组的赋值后, 会成真; 也可以把A换成B, C, 可能出现 α(B) = 1, α(C) = 0;
命题形式化
自然语言句子的形式化
解释: 是将自然语言进行抽象, 这样可以形式化为可以运算的命题公式
- 确定原子命题
- 确定逻辑连接词
- 处理原子之间的连接关系以及顺序
例子
- 我和他既是兄弟, 又是同学
- p: 我和他是兄弟 q: 我和他是同学
- ^
- p^q
- 狗急跳墙
- p: 狗急 q: 跳墙
- 蕴涵 ->
- p->q
- 如果他不来上课了要么是生病了, 要么是不在本地了.
- p: 他不来上课了 q: 生病了 r: 不在本地了;
- 蕴涵->, 或(而且是抑或) v
- p -> ( (q ^ !r ) v ( !q ^ r ) )
- 无论是否下雨, 我都去上学
- p: 下雨 q: 我去上学
- 非!, 合取^, 析取v
- (p^q) v (!p^q)
- (p v !p) -> q
- (p->q) ^ (!p->q) //两者都成立
- q //前面这个对后面没有影响, 因此可以写出q, 即我总是去上学
- note: 可以看的出同样的自然语言, 可以转为为多种逻辑形式, 但是其都是等价的, 也就是说对于相同的真值有序组输入, 总是得到一样的结果, 拥有相同的真值表.
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