一、数字的解放

生活在美索不达米亚平原上的人发明了黏土筹码系统，随着楔形文字被发明出来，最初的数学符号也开始逐渐转变。这影响了临近的埃及人，从公元前3千纪初期开始，他们在楔形文字的基础上发展出属于自己文明的计数系统。公元前2000年左右，古巴比伦人雄霸西北地区，包括美索不达米亚平原，他们继续发展楔形文字的计数系统。古巴比伦学者创造出无与伦比的先进知识：加、减、乘、除、平方根、乘方、倒数，他们还发展出了运算表格，列出方程并给出巧妙的解法。

在古巴比伦人之后，玛雅人也发明了一种20进制的位置计数系统。然后，古印度人发明了0123456789的十进制计数方法。这种记数法随后被阿拉伯学者重新使用，在中世纪末期传入欧洲，被称为“阿拉伯数字”。在公元9世纪，波斯数学家花拉子米撰写了著名的《印度数学算数》，通过这本书，阿拉伯数字逐渐被推广到了全世界。

二、几何的进击

数字被发明了出来，数学在不久之后也将面临学科分支的出现。在所有分支之中，几何学迅速地脱颖而出，吸引古典时期最伟大的先哲们的注意力。同时，公元前11世纪，中国文明也已经具有了数学知识，与古巴比伦文明、古埃及文明和古希腊文明恰好同时。
公元前6世纪起，古希腊世界进入了一个前所未有的、文化与科学的沸腾阶段。古希腊数学的出现，并不是在某一个固定的区域，而是在一个幅员辽阔的地理和文化区域中形成的。古希腊文明与其他古老文明的接触会产生传承和自身多样性的交融，这是古希腊数学革命的原动力之一，它是对古巴比伦和古印度的数学知识的吸收和扩展。古希腊人认为，几何学因其严谨性和能够训练头脑而尊贵。相传，在柏拉图学院的正门上，刻着这样的座右铭：“不习几何者不得入内。”
公元前7世纪末期，古希腊历史上第一位伟大的数学家泰勒斯降生了。据说，他测量出了大金字塔的高度，他所用到的几何方法是非常真实的，这种方法衍生出了一种特殊的情况，其具有的属性使我们今天称其为“泰勒斯定理”：如果一个三角形的三个顶点落在一个圆周之上，并且其中一条边穿过圆心，那么这个三角形必然是直角三角形。
他的另一条数学结论，看起来更显而易见：一个圆的任意直径将该圆分为等面积的两部分。然而，这种陈述是了不起的，并不是因为它的内容，而是它的表达方式。泰勒斯敢说，所有的圆都这样，毫无例外！而同样是表达这一规则，古巴比伦人、古埃及人、古代中国人都只是举了一个个例。
通过这样的操作，泰勒斯明确地给几何图形赋予了抽象的数学对象的地位。这种思维阶段正类似于美索不达米亚人首次将数字从被计数的对象身上独立出来。从此以后，数学真理可以用简洁又概括的方式表述，无论对于所包含的哪一种个别情况来说，都是成立的。自此，古希腊人给这些表述起了一个名字，叫作“定理”。
公元前6世纪初期，毕达哥拉斯出生在萨摩斯岛，在青年时期作为学徒游历了古代世界之后，他最终选择了克罗托内城作为定居地。在那里，他于公元前532年开创了毕达哥拉斯学派。毕达哥拉斯定理（勾股定理），人类有史以来最著名的定理之一，就是以他的名字命名的。
为了避免“定理”频繁地出现意外，“证明”将是古希腊的数学家们需要攻坚的主战场之一。如果没有相应的验证过程，那么一个“定理”则不能被承认。当然，这一切都离不开欧几里得和他的《几何原本》。欧几里得的《几何原本》被毫无争议地认为是数学史上最伟大的著作之一，15世纪末期古登堡使用新印刷术印刷成书的第一批书籍之一，是今天再版次数第二多的著作，仅次于《圣经》。
14世纪的阿尔·卡西建立了著名的三角函数表（不同角度三角形的余弦值、正弦值、正切值），在《算数之钥》中他还描述了一个从毕达哥拉斯定理推导出来的结论，通过巧妙地运用余弦，最终创造出一条对所有三角形都绝对适用的定理。直到今天，卡西定理依然是经常使用的三角学结论之一。

正是出于对这些“初始定义”和“公理“的绝对笃信，人们逐渐发展出整个几何学（在数学王国中，几何学是当之无愧的女王，直到文艺复兴时期，它的地位才被代数语言所取代）。更准确地说，我们整个现代数学学科正是建立在同样的模型基础之上的。定义—公理—定理—证明：这条由欧几里得开辟的道路将成为他所有的后继者必须要追寻的路径。

三、代数的壮大

波斯数学家穆罕默德·伊本·花拉子米，出生在公元8世纪80年代，他撰写了一本具有革命性的书籍，确保了他跻身人类历史上最伟大的数学家行列，可以与阿基米德和婆罗摩笈多比肩。这本书是阿拉伯帝国的哈里发马蒙下令花拉子米撰写的，他希望能够给他的人民提供一本数学指南，每个人都能够通过学习这本书的内容来解决日常生活中可能出现的问题。花拉子米给出的答卷出乎意料，在这本《还原与对消计算概要》中，花拉子米开创了代数学，他以一种独立于问题本身的抽象方法，详细地介绍了解决问题的过程。
花拉子米的方法完美地满足了数学发展的整体动态，即趋向于抽象性和普遍性。很长一段时间以来，数学研究的对象已经从它们所代表的现实事物中脱离出来并独立存在了。因为花拉子米的研究，我们有了充分的依据，将具体的对象从那些被认为可以解决的问题中抽离出来。
公元1219年，成吉思汗率领的蒙古铁骑冲进了花拉子米的故乡花刺子模。1258年，蒙古人在成吉思汗之孙旭烈兀的带领下，兵临巴格达的城门之下。为了在帝国的重重崩溃下不使研究中断，阿拉伯世界的科学组织开始分散到世界各地。一直到16世纪，阿拉伯世界还在创造着领先世界的科学研究，但是很快，历史之风转了向，欧洲已经做好了准备，即将接过数学的圣火。中世纪时期，数学并没有在欧洲蓬勃发展，然而，也有个别的例外。让意大利人斐波那契声名远扬的，是一组特殊的数列，即一系列可以无限延长的数字序列，有趣的是，这个数列的增长率在无限层面上与黄金分割率几乎一致。
在卡尔达诺证明过程中，包括诸如“-15的平方根的情况”。这在婆罗摩笈多发明的十进制数学符号下是绝对不可能实现的，因为正数的平方是正数，负数的平方也是正数！这吸引了另一位来自博洛尼亚的数学家拉斐尔·邦贝利，他总结整理了《大术》中的发现，并且介绍了这些新型数字，他称之为“复杂的数”。
邦贝利所做的事情，和婆罗摩笈多当年“创造”出负数时的情况一样。他在书中详细介绍了“复杂的数”的所有计算规则，尤其指出其平方是负数。后来，17世纪的笛卡尔赋予了它沿用至今的新名字：虚数。然而，虚数不像负数，它们与我们的直觉相悖，负数至少能通过债务被理解，虚数呢？它还要再等上漫长的两个世纪，才会最终被数学界所接受，在19世纪，先验的认为“经典意义上的数字才是数字”的想法被摒弃了。
负数的发现与虚数的发现有着相似的意义，它们都揭示了数学中简洁的美感。我们的语言，根据某件事情的“是”或“非”而使用不同的结构，比如肯定句式“我曾经在火星上漫步过”，否定则是“我没有在火星上漫步过”。而数学为了将它们归并到一个同样的句式之中，则会删除这些差异，写作“我在火星上漫步了若干次”，这个“若干”可能是数字零。

正如庞加莱写的那样：“数学是一门赋予不同事物以同样名字的艺术。”婆罗摩笈多在数学史上的伟大之处在于，他统一了正数和负数，多亏了负数的出现，使得加法和减法成为同一种运算的两个方面，例“增加一个负数等于减去一个正数”，我们赋予了两种不同的事物以同样的名字。

四、数学语言的独立与发展

16世纪的欧洲是热血沸腾的。文艺复兴运动在席卷了意大利之后，开始向整个欧洲大陆蔓延。借着文艺复兴的“春风”，数学终于在法国“登陆”。1591年，韦达出版了他最著名的著作，即《分析方法入门》，这是另一部里程碑式的著作。
韦达是一种新型代数学的主要引导者，而这种新的代数学在未来的几十年内，将产生出一种全新的数学语言。让我们将时钟往回拨，古代的学者们其实并没有一种特殊的语言来撰写数学知识。在长达5000年的岁月中，从古代美索不达米亚人到古希腊人、古代中国人、古代印度人，再到古代阿拉伯人，人们书写数学公式的时候，使用的一直是日常生活中的语言。这种方式不但写起来非常冗长，而且还因为受限于语言而具有一定的歧义，随着数学推理和论证的过程变得越来越复杂，这种写作模式渐渐地显露了弊端。为了解决这个变得日益复杂的问题，数学家们逐渐地开始简化代数语言。
这个过程开始于中世纪晚期的西方伊斯兰世界，不过，在15世纪至16世纪的欧洲，这个运动得到了格外充分的开展。韦达是这场运动中的催化剂，他在《分析方法入门》中发起了一项庞大的“代数现代化”计划，笛卡尔在这个基础上优化了数学的表达方式，成为我们至今仍在使用的方法：用字母表的前几个字母（a,b,c……）表示已知数，用最后几个字母（x,y,z)表示未知数。
从此之后，数学家们开始有意识地列举各种情况，并建立处理字母化方程的相关规则，很快代数学从几何学中脱离出来，成为一门独立的学科。接着，由于笛卡尔坐标的出现，字母运算将颠覆整个数学领域的权重关系，很快，几何学就会发现自己需要大量依靠代数学的论证了。
1623年伽利略在其《试金者》一书中记录了数学与物理学之间日益紧密的关系。在这一时期，最显著的成就是牛顿发现的万有引力定律，它计算出了哈雷彗星的回归周期。万有引力的发展是第一批需要数学创新的物理课题之一。
牛顿在《自然哲学的数学原理》一书中，走上了“无限细致的细分”这条研究道路，随后，德国数学家戈特弗里德·威廉·莱布尼茨厘清了在牛顿那里尚不太清楚的问题。通过牛顿和莱布尼茨的探索，“微积分”诞生了。不过，关于微积分的“著作权”问题，牛顿和莱布尼茨打了好几年口水仗。牛顿认为，他才是微积分第一人，因为他从1669年起就开始研究这个问题，可惜的是，他在发表成果方面，比莱布尼茨足足晚了3年，莱布尼茨在1684年发表了自己对于微积分的研究。

一个理论在刚刚被建立起来的时候往往不完善，在牛顿和莱布尼茨的研究中，还缺少很多关于严谨性和论述的关键点。1748年，意大利数学家玛丽亚·加埃塔纳·阿涅西出版了《分析讲义》，对微积分这门年轻的学科首次作出完善。一个世纪以后，德国的数学家波恩哈德·黎曼完成了最后的“查漏补缺”，从此，名为“微积分”的新大陆再无危险可言。 与微积分一样，概率学是另一门诞生于17世纪的数学分支。从史前时代起，古代的人们已经开始想方设法地自己创造出随机效果，箭卜术是非常古老的例子之一，对于想要问神的问题，将可能的各种答案写在箭身之上，然后把这些箭放在箭筒之中，摇晃箭筒并且随机抽取出一根：这就是神的回答。慢慢地，抽签随机的机制流传开来，在古代的雅典，人们用这种方法选出参加众议院五百人会议的市民。
1642年，布莱兹·帕斯卡设计出人类历史上第一台计算器；1834年，查尔斯·巴贝奇的脑海中忽然出现一个疯狂想法，借鉴纺织机打孔卡的原理，制造了历史上第一台计算机。打孔卡上面有一系列的洞，计算器能够探测到这些洞的存在，然后按照洞代表的指示一步步地进行预订的计算。于是，计算器的使用者必须在使用它之前，就先把想要进行的运转转化为打孔卡，然后插入计算器进行计算。这项“从运算到打孔卡”的翻译工作最终由英国数学家阿达·洛芙莱斯实现的，她编写了一段复杂的代码用来计算伯努利数列，这种算法在微积分的计算方面极其有用。这段代码通常被认为是世界上第一个计算机程序，而洛芙莱斯也被认为是人类历史上第一个程序员。
1936年，英国数学家艾伦·图灵发表了一篇文章，首次提出了一种纯粹的想象产物：图灵机，以及这个机器能够进行何种基本运算，将这些运算组合在一起能够实现什么样的结果。其中，人们为了获得某个结果而给计算机下的一系列指令被称为“算法”，这个称呼来自花拉子米名字的拉丁语变形。正如花拉子米不需要向巴格达的市民们解释基本的定理，他们就能不费吹灰之力地解决具体问题一样，我们也不需要跟一台电子计算机解释理论，它只需要人们告诉它进行怎样的计算，以怎样的顺序进行计算。
2016年，电子计算机阿尔法狗击败围棋选手李世石，它那极富创意的第37手举世震惊。作为只会忠实地执行人类编写的算法的电脑，怎么可能会有创造性呢？这个问题的答案，在于一种新型的算法：学习型算法。在训练的过程中，阿尔法狗花了几千个小时和自己下棋，自己探索出了所有能够赢得胜利的落子。但是，围棋落子的可能性何止成千上万种，想要全部计算出来是不可能的，哪怕对一台电脑来说也是如此。为了解决这个问题，阿尔法狗采用了抽签的方法，随机抽取它要探索的路径，然后使用了概率论。也就是说，它之所以具有直觉和独创性的一部分原因，并不是系统性地进行思考，而是根据概率来权衡可能的未来。
19世纪末期，数学大陆不可避免地开始分裂漂移，数学世界正在经历蜕变，它正在成为一门范围过于广阔的学科，以至于任何一位数学家都不可能样样精通。作为回应，研究者们前所未有地主动增加彼此合作的机会，试图将自己的学科打造成一块不可分割的整体。带着这种推动力，数学迈入了20世纪。今天，全世界的数学家早已成千上万，每一天都有几十篇新论文发表，一些统计显示，目前在世界范围内，数学界每4年将会产生大约100万条新的定理！
从人类诞生之初到现在的漫长历史岁月中，数学经常被用来研究和理解这个世界，但是数学模型始终建立在真实的现实，而不是某种由现实创造出来的规则之上。然而，17世纪的学者们认识到：自然根据其内在规则运转，自然被精确的数学法则控制，自然的规则可以通过重复试验的方式大白于天下。到今天，没有任何一条严谨的物理学理论敢用除了数学语言之外的其他语言进行表述。

让我们回顾整个数学的发展史，不难发现数学的发展趋向于抽象性和普遍性。最开始，美索不达米亚人（苏美尔人与巴比伦人的共同努力）发明数字符号，使数学从被计量的物体中抽象出来；欧几里得总结公理和定理的研究方法，使数学拥有了普遍性；花拉子米开创代数学又使数学从问题中抽象出来；再到韦达发起的“代数现代化”运动，数学又从日常生活的语言中抽象出来，成为一种可以通过诸如爱因斯坦“E = mc²”的公式描述世界的语言。通过抽象性和普遍性，它逐渐地拥有了简洁的力量。