不等式

不等式

在学完“集合与常用逻辑用语”这一章后，我们进入了对不等式的学习。这两张看似毫不相干，实则密不可分。因为有很多地方，都可以通过集合语言来表达不等式，我们将在过程对其进行连接。而这样一个过程，正是对于高中课程“符号化”的一个转变。

我们知道，在研究“集合与常用逻辑用语”这一章中，是用“浪漫、精确、综合、未来发展”这四个板块进行探索的，那么对于不等式这一章，也让我们从浪漫开始吧。

首先我们要回顾一下以往知识，“三个二次”我们都学了什么？首先就是一元二次方程，它的一般式是 ax² + bx + c = 0 （a≠0）。而从一元二次方程到二次函数，无非就是把等式右边的0变为了未知数，从而形成了二次函数的一般式 y = ax² + bx + c（a≠0），而从二次函数到一元二次不等式，则是我们在遇到取值问题时需要关注的。

同时，这三者间我们也可以用“数形结合”的方式去构思。二次函数图像上图象与x轴的交点，便是一元二次方程的解。而二次函数与一元二次不等式，同样也是可以通过数轴来宏观观察取值。

其次就是浪漫感知，我们可以提出两个问题：一类比等式的性质，不等式会有哪些性质呢？其次就是完全平方差公式的基础上，我们又可以得到哪些新的结论？

下面我们进入精确板块。特别的是，这章的精确部分，我们对一元二次不等式再次进行了巩固。首先是三个“二次”间的对应关系，因为我们已经学过了集合与常用逻辑用语这一章，那么我们就可以用集合来表示“三个二次”间的对应关系，如图：

其次涉及到的就是该如何解不等式。过程如图：

但我们会发现，这样的解不等式有局限性。因为上面不等式的右边为0，通过数形结合我们可以将其化成方程，与x轴相关联。那么像-x²-3x+2＞4x²+5 这样一个式子，又该如何解呢？同样我们可以用数形结合，把其直接化成方程。但问题就是，此时的数形结合，参照物不再是x轴了，就会比较麻烦。那么，我们何不直接用“不等式的基本性质”呢？当然可以！只是我们证明过它吗？很显然，并没有。那么下面让我们进入了对不等式的性质的探索。

再次要明晰一点，我们研究性质要从公理开始，否则不断的往前追问，就没有劲头了。那么研究不等式的性质，有哪些已知公理呢？

首先是实数，它的的基本事实有哪些呢？如图：

其次是等式，它的基本性质又有哪些呢？如图：

那么在知道了实数和等式的性质后，基于实数的基本性质，类比等式的基本性质，不等式又有哪些性质呢？如图：

我们一共推出了9个有关不等式的性质。其中4和7是对不等式的加法性质和乘法性质的延伸，我们称其为叠加和叠乘。

而对于我们所推理的这些性质，我们需要去证明它，使其真正变成我们的性质。那在此我们就需要根据实数的性质，去推算出不等式的性质（在此我们只展示基础前6个的过程），如图：

那有了不等式的基本性质，我们又该如何表示一般不等式呢呢？这就进入到了对基本不等式的探索，如图：

我们会发现a²+b²≥2ab这样一个关系，那在此，我们肯定是需要限制  a > 0 ，b > 0的，但当我们转化一下，其实这个式子就是完全平方差的式子，它具有非负性，所以限制就变成了a∈R，b∈R。 而当我们将 a²看成a ，b²看成 b，便衍生出了a + b≥2√ab（a＞0，b＞0）这样一个式子。

同时，这个式子还可以用一个图来推算，如图：

这就是其中直径昂B和弦DE的关系，通过观察，直径肯定是大于弦的，那当我们证明出来也得到了这个a + b≥2√ab（a＞0，b＞0）的式子，而这个式子就是基本不等式。

它还可以演算出a+b/2≥√ab，其中a+b/2是算术平均数，而√ab是几何平均数。通过对事实的不断推演，我们得到了“和定，积最大；积定，和最小”这样一个概括。

接下来，让我们进入综合应用板块，整体的内容其实就是利用基本不等式做练习。如图：

我们想要将这道题做出来，需要几个步骤呢？如图：

“一正、二定、三取等”。一正是因为我们要让x的部分都大于0；二定是看它是积定了还是和定了，像这道题它让我们求的是最小值，那我们就可以利用积定和最小这个概念；三取等则是我们要算出当x到底为何值时，式子为等式，因为当等号时，这个数的和是最小的。

而当到实际应用后，便是“一设、二正、三定、四取等”，四个步骤。如图：

最后是未来发展，那就很简单啦，我们可否探索更多函数的不等式呢？在函数上可否有更多的拓展，用“纯数”研究函数？