芝诺“阿基里斯与乌龟悖论”解

上周与朋友茶室闲话，说到芝诺悖论。闲话思维散漫，往往言不及义。我说地含混，朋友听地糊涂，两不尽兴。回家仔细思量，当时思路尚可取，只是语焉不详，便显逻辑紊乱。

芝诺古希腊数学家、思想家，他提出了多个悖论，均涉及无穷问题。最为人知的是阿基里斯与乌龟赛跑的悖论。

阿基里斯，希腊神话人物，善跑，类似我国的夸父。

这个悖论说，即使是善跑的阿基里斯，其前如果有一慢速挪动的乌龟，以理思维，他也无法追上。推理过程如下：

阿基里斯开跑之前，乌龟所在位置记为甲处。等阿基里斯跑至甲处，乌龟已由甲处移至前方某乙处。这样，阿基里斯与乌龟之间距离虽然变近，然而问题的性质并没有改变。乌龟依旧在阿基里斯前方。如此推论，阿基里斯永远追不上乌龟。

这个问题非常容易理解，而且特别容易让人想起《庄子•天下篇》中的：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”如果芝诺出在战国，大概一样被归为“能服人之口，不能服人之心”的名家。但是惠施的命题^[1]只让我们认为理论上可能，此外再无过多思考。而芝诺的问题，即或不能“服人心”，但人亦难道其弊。芝诺亦不以人不能言其弊为荣，芝诺把这作为一个严肃的，未能解决的数学问题，来讨论。这是芝诺与战国名家的不同处。

现在我试着来解释一下这个问题。

现在假设最初阿基里斯与乌龟之间的距离为 ，乌龟的速度为 , 阿基里斯速度为 ，阿基里斯速度快，所以 ，最初阿基里斯所在位置记为 0，乌龟所谓位置记为 1。阿基里斯到达位置 1 时，乌龟所到达的新位置记为 2。以此记录。

1. ，阿基里斯用的时间为： 。这时乌龟向前挪动的距离为： 。
2. ，阿基里斯跑完 用时为： 。乌龟跑的距离为： 。
3. ，阿基里斯跑完 用时为：。乌龟跑的距离为： 。
4. ……

以此进行，不难发现， 和 都构成等比序列。

位置点用标记，阿基里斯移动，每次移动距离为， 用时，列表如下：

0		0
1
2
3
4

以芝诺论，永远追不上，换言之即追上用时为无穷大，即

的结果当为无穷大。

这样问题就转化为一纯数学问题，即求等比数列 的极限和。等比数列求和公式为

当 n 趋于无穷大时，若，变为 。这里序列第一项为 , 公比为 , 带入公式得：

就是乌龟从 需要的时间。我们设定中 . 所以一切都很好。 和为有限值，和我们的现实一致。芝诺错了。

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很多读者，读到上面的等比公式，可能已经被吓到了，不怕。以下内容，只要小学知识就能读懂。

最初的乌龟与阿基里斯之间的距离定为1，单位是什么没关系，只要后面速度单位和这个距离单位一致就可以了。乌龟的速度也定为1，阿基里斯的速度定为乌龟的10倍。那么每次用时间的等比序列就变成了：

现在和我一起回忆小学数学知识，循环小数：

注意上面最后的一部分，那不就是我们正要计算的数列和吗？

可见， 0.1，0.01，0.001，…… 这个序列的和是1/9，不用说，它是有限的。

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一般讨论至此就结束了，但是我要多说几句。何以惠施命题，听起来不如芝诺的那么给人刺激呢？

原因是惠施的命题是正确的，就算今日，数学上也这样认为。惠施的命题用今日数学语言描述即为：无穷小不等于〇。这也是一个重要的数学认识，显然芝诺也认识到了。

芝诺的这个命题所以被叫做悖论，不在其反直觉，而在于它是错误的。错在哪里？就在，我们如下的错误的直觉：只要不是负数，无限的累加就会变为无穷大。

芝诺悖论，在推动数学发展上有巨大的功劳，芝诺之错，不是他的罪。他通过这个悖论，清楚的揭示出人类的这个错误的直觉，我以为这是芝诺比惠施更加高明的地方。

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1. 《庄子•天下篇》中提出这个问题的是惠施，而非庄周。庄周是记录者、叙述者。 ↩