趣味数学：正方形上的数论问题

作者: 易水樵 | 来源:发表于2022-05-08 22:48 被阅读0次

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正方形上的数论问题

在一个 $600\times600$ 的方格表 $ABCD$ 中，将 $A$ 与线段 $CD$ 上除端点外的所有格点 $N_1,N_2,N_3, \cdots N_{599}$ 分别相连，得到 $599$ 条线段. 请问，在这些线段中：
（1）不会与其他格点相交的线段共有多少条?
（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?
（3）除去端点，还恰好经过 $29$ 个格点的线段有多少条？

【解析】

【从简单的例子中找规律】

$600\times600$ 实在是太多了，我们先考虑一种较简单的情况： $12\times12$ .

在一张方格纸上画一画，归纳其中的规律.

如上图所示，以600为分母，以格点的编号为分子，则599条线段分别与一个分数相对应。

我们发现，同一条线段上的格点具有相同的分数值。

例如，线段 $AN_6$ 代表以下分数： $\dfrac{1}{2}=\dfrac{2}{4}=\dfrac{3}{6}=\dfrac{4}{8}=\dfrac{6}{12}$

反之，如果分子与分母的最大公约数为1，那这条线段就不通过中间的格点。例如： $\dfrac{599}{600},\dfrac{17}{600},\dfrac{11}{600},\dfrac{7}{600}, \cdots$

以上规律，是解决本题的基础。

【分析 $600\times600$ 的情况】

我们还是从一些具体的例子开始。

$\dfrac{1}{6} =\dfrac{2}{12} =\dfrac{3}{18} \cdots =\dfrac{100}{600}$

$\dfrac{1}{3} =\dfrac{2}{6} =\dfrac{3}{9} \cdots =\dfrac{200}{600}$

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{2}{4} =\dfrac{3}{6} = \cdots =\dfrac{300}{600}$

$\dfrac{5}{6} =\dfrac{10}{12} =\dfrac{15}{18} = \cdots =\dfrac{500}{600}$

$\dfrac{59}{60} =\dfrac{118}{120} =\dfrac{177}{180} = \cdots =\dfrac{590}{600}$

以上是一些与其他格点相交的线段所对应的分数。

这样的分数共有多少个呢？

$600=2^3\times3\times5^2$

在 $1-600$ 之间，2 的倍数共有 300 个；3的倍数共有 200个；5的倍数共有120个。

$2\times3$ 的倍数共有100个； $2\times 5$ 的倍数共有100个； $3\times5$ 的倍数共有100个；

$2\times3\times5$ 的倍数共有 20 个

根据互斥原理可以计算出： $1-600$ 之间，能够被 $2,3,5$ 中至少一个数整除的数共有 440 个，包括 600 在内；所以， $1-599$ 之间 $2,3,5$ 都不能整除的数共有 160 个。

至此，问题（1）就得到了解决：不会与其他格点相交的线段共有 $160$ 条.

（2）经过格点最多的线段共经过多少个格点（不包括它的端点）?

在前面的例子中，我们已经看到：同一条线段上的格点所对应的分数值相等，用分子分母同乘一数的方法可以转化。

$\dfrac{1}{2} =\dfrac{1\times2}{2\times2} =\dfrac{1\times3}{2\times3} =\dfrac{2\times4}{4\times4} = \cdots =\dfrac{1\times300}{2\times300}$

线段 $AC$ 通过了前面所有的格点，但是 $AC$ 不在我们考虑范围内；

其次就是线段 $AN_{300}$ ，它通过了所有的偶数格点。

不包括它的端点， $AN_{300}$ 经过的格点数为 $299$ .

最后看第3问：除去端点，还恰好经过 $29$ 个格点的线段有多少条？

假如把端点也算进去，那这样的线段经过的格点数为 $30$ , 典型的例子是这个：

$\dfrac{1}{20} = \dfrac{2}{40} = \dfrac{3}{60} = \dots = \dfrac{30}{600}$

那么，如果把分子调大一些，又如何呢？

$\dfrac{2}{20},\dfrac{10}{20}$ 是不行的；因为 $\dfrac{2}{20}=\dfrac{1}{10}; \; \dfrac{10}{20}=\dfrac{1}{2}$ . 这两个分数所对应的线段会经过 $29$ 个以上的格点

恰好经过 $29$ 年格点的线段对应以下分数：

$\dfrac{1}{20},\dfrac{3}{20},\dfrac{7}{20},\dfrac{9}{20},\dfrac{11}{20},\dfrac{13}{20},\dfrac{17}{20},\dfrac{19}{20}$ .

这些分数有两个共同特点：一、都是 $\dfrac{1}{20}$ 的倍数；二、不能再约分.

结论是：除去端点，还恰好经过 $29$ 个格点的线段有 $8$ 条.

【提炼与提高】

这是一个内涵丰富的竞赛题，具有很重要的数学背景。

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